CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Princípios de Comunicações Aulas 11 e 12 Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS 2.1 Sinais Um sinal representa um conjunto de informações ou dados em função do tempo 𝒳(𝑡). Em comunicações, os sinais podem representar uma tensão ou uma corrente elétrica Iremos nos preocupar com duas grandes classes de sinais, conhecida como determinista e aleatória. A medida da força de um sinal pode ser feita de duas maneiras: Energia de um sinal Potência de um sinal Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS 2.2 Sistemas Um sistema processa um conjunto de informações ou dados (entradas) para produzir um outro conjunto de sinais (saídas). Pode ser um equipamento físico, um meio de transmissão ou um algoritmo de software, ou uma combinação de vários elementos Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS 2.3 Modelos de sinais 2.3.1 Sinais determinísticos e aleatórios Determinísticos: Não há incerteza quanto ao seu valor em nenhum instante de tempo. Tais sinais podem ser representados no tempo através de fórmulas matemáticas. O valor de um sinal determinístico 𝑓 𝑡 é conhecido exatamente para todos os valores de t. 𝑓 𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠( 𝜔 0 𝑡), ∞< 𝑡<∞ Onde 𝐴 𝑒 𝜔 0 são constantes. Π(𝑡) = 1, 𝑠𝑒 𝑡 ≤ , 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 Sinal senoidal Pulso retangular unitário Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS Aleatórios: Sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência. Só podem ser representados por suas características estocásticas (média, variância, autocorrelação, etc). Não podem ser representados por uma função analítica (não é possível determinar precisamente o valor do sinal em um dado instante de tempo Ex. Sinal de voz. Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS 2.3.2 Sinais periódicos e aperiódicos Periódicos: Um sinal 𝑥 𝑡 é chamado periódico se e somente se: 𝑥 𝑡 =𝑥 𝑡+ 𝑇 0 , −∞< 𝑡<∞ Onde 𝑇 0 é o período. Um sinal periódico com período 𝑇 0 também é periódico com período 𝑚𝑇 0 , ou seja 𝑥 𝑡 =𝑥 𝑡+ 𝑚𝑇 0 . Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS Um sinal periódico não é alterado quando deslocado por um período 𝑚𝑇 0 . Um sinal periódico 𝑥 𝑡 pode ser gerado pela repetição periódica de qualquer segmento de 𝑥 𝑡 com duração 𝑚𝑇 0 . Aperiódicos: Qualquer sinal 𝑥 𝑡 que não satisfaz a igualdade 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡+ 𝑇 0 é chamada aperiódico. Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS 2.3.3 Sinais fasoriais e espectros Um sinal útil em análise de sistema é o sinal: 𝑥 (𝑡) =A 𝑒 𝑗( 𝜔 0 𝑡+𝜃) , −∞< 𝑡<∞ O qual é caracterizado por três parâmetros: amplitude A, fase 𝜃 e frequência angular 𝜔 0 em radianos por segundo ou 𝑓 0 = 𝜔 0 2𝜋 em hertz. Vamos nos referir a 𝑥 (𝑡) como um fasor rotativo. O sinal 𝑥 (𝑡) é um sinal periódico com período 𝑇 0 = 2𝜋 𝜔 0 . O fasor rotativo pode ser relacionado com a parte real de um sinal senoidal 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔 0 𝑡+𝜃 de duas maneiras. Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

9 2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS
Seja 𝑥 𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔 0 𝑡+𝜃 . Usando o teorema de Euler podemos escrever que: 𝑥 𝑡 =𝐴 𝑒 𝑗( 𝜔 0 𝑡+𝜃) =𝐴cos 𝜔 0 𝑡+𝜃 ±𝑗𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔 0 𝑡+𝜃 Portanto, a primeira maneira de relacionar o sinal senoidal 𝑥 𝑡 com o fasor rotativo 𝑥 𝑡 é: 𝑥 𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔 0 𝑡+𝜃 =𝑅𝑒 𝑥 𝑡 =𝑅𝑒 𝐴 𝑒 𝑗( 𝜔 0 𝑡+𝜃) (Eq.1) Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS A segunda maneira de relacionar o sinal senoidal 𝑥 𝑡 com o fasor rotativo 𝑥 𝑡 é tomando a soma da metade do complexo 𝑥 𝑡 com a metade do conjugado complexo de 𝑥 𝑡 . Assim, 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔 0 𝑡+𝜃 = 1 2 𝑥 𝑡 𝑥 ∗ (𝑡) = 1 2 𝐴 𝑒 𝑗( 𝜔 0 𝑡+𝜃) 𝐴 𝑒 −𝑗( 𝜔 0 𝑡+𝜃) Portanto, 𝑥 𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔 0 𝑡+𝜃 = 1 2 𝐴 𝑒 𝑗( 𝜔 0 𝑡+𝜃) 𝐴 𝑒 −𝑗( 𝜔 0 𝑡+𝜃) (Eq. 2) Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS As Equações (1) e (2), as quais fornecem uma representação do sinal senoidal 𝑥 𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔 0 𝑡+𝜃 em termos do fasor rotativo 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑒 𝑗( 𝜔 0 𝑡+𝜃) e são representações no domínio do tempo. Duas representações do sinal senoidal 𝑥 𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔 0 𝑡+𝜃 no domínio da frequência pode ser obtido notando que o sinal fasor rotativo 𝑥 𝑡 =𝐴 𝑒 𝑗( 𝜔 0 𝑡+𝜃) está completamente especificado em termos dos parâmetros 𝐴 e 𝜃 para um particular valor de 𝑓 0 . Assim, a representação da magnitude (𝐴) e ângulo 𝜃 de 𝐴 𝑒 𝑗( 𝜔 0 𝑡+𝜃) versus frequência nos fornece informações que caracterizam completamente o sinal 𝑥 𝑡 . Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS A representação gráfica da amplitude e fase são referidas como o espectro de linhas da amplitude e espectro de linha de fase do sinal senoidal Os ângulos de fase serão medidos em relação às ondas de cosseno ou, de forma equivalente, em relação ao eixo real positivo do diagrama fasorial. Assim, as ondas senoidais precisam ser convertidas em cossenos através da identidade:𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡= cos (𝜔𝑡−90°) Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS Consideramos a amplitude como sendo sempre uma quantidade positiva. Quando os sinais negativos aparecem, eles devem ser absorvidos na fase usando −𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡=𝐴 cos (𝜔𝑡±180°) Os ângulos de fase geralmente são expressos em graus Para ilustrar a construção do espectro de linha (amplitude e fase), considere o sinal: 𝑤 𝑡 =7−10 cos(4π𝑡−60°) +4 𝑠𝑒𝑛 120𝜋𝑡 Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS 𝑤 𝑡 =7−10 cos(4π𝑡−60°) +4 𝑠𝑒𝑛 120𝜋𝑡 Convertendo o termo constante para uma componente de frequência zero ou DC (corrente contínua) e aplicando as convenções descritas anteriormente temos: 𝑤 𝑡 =7𝑐𝑜𝑠 2𝜋0𝑡+10 cos(2π20𝑡+120°) +4 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋60𝑡−90° Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS 𝑤 𝑡 =7𝑐𝑜𝑠 2𝜋0𝑡+10 cos(2π20𝑡+120°) +4 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋60𝑡−90° Cujo espectro de linhas é dado na Figura abaixo Assim temos o chamado espectro de linhas de frequência positiva ou espectro de linhas de lado simples Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS Uma outra representação espectral pode ser construída envolvendo as frequências negativas. É o chamado espectro de lado duplo. Para o exemplo anterior temos: Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

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2. ANÁLISE E REPRESENTAÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS Problemas Construa o espectro de linhas lado simples e lado duplo dos sinais: a 𝑥 𝑡 =−3 −4 𝑠𝑒𝑛 30𝜋𝑡 b 𝑥 𝑡 =2𝑠𝑒𝑛 10𝜋𝑡− 1 6 𝜋 c 𝑥 𝑡 =2𝑠𝑒𝑛 10𝜋𝑡− 1 6 𝜋 +cos⁡(20𝜋𝑡) Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)