Revisão do conceito de matrizes

Apresentação em tema: "Revisão do conceito de matrizes"— Transcrição da apresentação:

1 Revisão do conceito de matrizes
Pesquisa Operacional Prof(a) Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães

2 Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de matrizes.
Tema da aula 02 Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de matrizes.

3 Matrizes - conceituação
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:  Química Inglês Literatura Espanhol A 8 7 9 B 6 C 4 5 Para saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

4 Matrizes - conceituação
Representação matricial das notas do exemplo anterior. Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela temos, portanto, uma matriz de dimensão 4 x 4. 4

5 Matrizes - conceituação
                                                                                                                                                           Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita. 5

6 Matrizes - conceituação
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz notas, a33 é o elemento da 3ª linha e da 3ª coluna (aluno C, Literatura, nota 5).                                                                                                                                                            6

7 Matrizes - conceituação
Representar a matriz A (2 x 3) conforme a equação aij = 2i + j. : a11 =            a21 = a11 = 3                      a21 = 5 a12 =            a22 = a12 = 4                       a22 = 6 a13 =            a23 = a13= 5                       a23 = 7 7

8 Soma de matrizes = somar seus elementos individualmente.
Duas matrizes podem ser adicionadas se e somente se elas forem da mesma ordem. Soma de matrizes = somar seus elementos individualmente. O resultado da soma será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais. Simbolicamente, temos que, se C = A + B, então cij = aij + bij, para todo i e j.

9 Exemplo: Soma de matrizes Somar: A + B; C + A; B + C e A + D.
A + D não pode ser efetuada pois as dimensões são diferentes. 9

10 Subtração de matrizes Duas matrizes podem ser subtraídas se e somente se elas forem da mesma ordem. Subtração de matrizes = subtrair seus elementos individualmente. O resultado da subtração será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais. Simbolicamente, temos que, se C = A - B, então cij = aij - bij, para todo i e j. 10

11 Subtração de matrizes Uma matriz pode ser multiplicada por um escalar, multiplicando-se cada elemento da matriz por este escalar.

12 Então E - F = E + (-F). Por exemplo.
Subtração de matrizes Subtração entre duas matrizes é equivalente a somar a primeira com o produto da segunda pelo escalar -1. Então E - F = E + (-F). Por exemplo. F multiplicada por -1 12

13 Subtração de matrizes Exemplo:

14 Produto de duas matrizes
O produto de duas matrizes somente pode ser efetuado se o número de colunas da matriz à esquerda for igual ao número de linhas da matriz à direita. O produto de matrizes é, em geral, não comutativo, ou seja, dadas duas matrizes A e B e seu produto, AB, o produto BA pode não existir e, se existir, pode não ser igual a AB. O produto de duas matrizes tem o número de linhas da matriz à esquerda e o número de colunas da matriz à direita. Ou seja, sendo C = AB, se A é m x n e B é n x p, C é m x p. 14

15 Produto de duas matrizes
Exemplo: 15

16 Produto de duas matrizes
Exemplo: 16

17 Produto de duas matrizes
Exemplo: 17

18 Produto de duas matrizes
Exemplo: 18

19 Produto de duas matrizes
Exemplo: 19

20 Produto de duas matrizes
Exemplo: 20

21 Produto de duas matrizes
Exemplo: 21

22 Produto de duas matrizes
Exemplo: 22

23 Produto de duas matrizes
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B: A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): Colunas de A diferente Linhas de B 23

24 Exercícios propostos Sejam as matrizes:

25 Exercícios propostos Sejam as matrizes: 25

26 Memória de aula Conceitue uma matriz. Quais são regras para adição e subtração de matrizes? Como podemos subtrair duas matrizes utilizando um produto escalar? Quais são regras para produto de matrizes? Posso efetuar o produto da matriz A3x2 e B2x5? Posso efetuar o produto da matriz A3x3 e B2x2? Justifique sua resposta.

27 Bibliografia indicada
ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. Rio de Janeiro: Editora LTC, pg. 244 a 248 LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, versão digital disponível na Internet (