Teoria dos Grafos Processos Nascimento e Morte em Equilíbrio

Apresentação em tema: "Teoria dos Grafos Processos Nascimento e Morte em Equilíbrio"— Transcrição da apresentação:

1 Teoria dos Grafos Processos Nascimento e Morte em Equilíbrio
ADSD Processos Nascimento e Morte em Equilíbrio

2 ADSD Processo de Nascimento e Morte em Equilíbrio
Na nossa disciplina introduziremos apenas PNM em equilíbrio, i.e., consideramos o nosso sistema de filas no regime permanente No regime permanente, o comprimento da fila varia, naturalmente. O que fica estável (não depende do tempo) é a probabilidade da fila ter k fregueses (pk). Com essa suposição, eliminamos t (tempo), Desejamos: pk  lim Pk(t) t  

3 ADSD Solução PNM em equilíbrio: pk = p0  i / µi+1 Equações Básicas
k=1 i=0 Para:   pk = 1 k=0 Equações Básicas da Teoria das Filas

4 ADSD Suposições: PNM em equilíbrio O sistema é estável:
pk > 0 ( a probabilidade de ocorrer uma chegada em um estado k não é nula) p 0 # 0 (o sistema esvazia em algum tempo) pk vai diminuindo depois de um certo k0 k / µk < 1 , para k  k0

5 ADSD PNM em equilíbrio - Teoria das Filas Elementar
M/M/1: 01 servidor (sistema de fila clássica) M/M/1 com chegadas desencorajadas M/M/m: m servidores M/M/ : infinito servidores M/M/1/K: armazenamento finito (K) M/M/m/m: sistema de perdas, m servidores M/M/1//M: população finita M/M/ //M: infinito servidores, população finita M/M/m/K/M: m servidores, armazenamento finito(K) e população finita (M) Teoria das Filas elementar somente estuda sistemas abertos com distribuição de probabilidades exponencial (sistemas Markovianos). Na nossa disciplina voltaremos nossa atenção apenas ao sistema M/M/1

6 ADSD Notação para um sistema de fila: A/B/m/K/M
A: Função de Distribuição de Probabilidade (FDP) dos tempos de interchegadas de clientes B: Função Distribuição de Probabilidade dos tempos de serviços m: número de servidores K: Comprimento máximo de fila M: População do sistema Notação simplificada: A/B/m

7 ADSD {t} {x} T M/M/m/K/M M: População servidores (w) (x) Exp() Exp(µ)
1 m (K) servidores {t} {x} (w) (x) Exp() Exp(µ) T M/M/m/K/M

8 ADSD O Sistema Clássico M/M/1
Processo de chegada de fregueses é Poisson (tempos de interchegadas de fregueses distribuídos exponencialmente com taxa média  ) Uma fila sem limite de comprimento Um servidor com tempo de serviço distribuído exponencialmente com taxa média µ

9 ADSD O Sistema Clássico M/M/1
Entre as medidas de desempenho do sistema M/M/, interessam-nos principalmente:  : fator de utilização do sistema  =  / µ , para   µ   < 1 N: Número médio de fregueses no sistema (fila + servidor) N =  / (1 -  ), T: Tempo médio de resposta (Tempo médio de fila (W) tempo médio de serviço (X = 1/) T = (1/ µ ) / (1 -  ) Equação básica na análise de atrasos em sistemas de redes de filas

10 ADSD O Sistema Clássico M/M/1 µ  Sistema de Filas M/M/1
Pop: sem limite  (sem limite) Sistema de Filas M/M/1

11 ADSD O Sistema Clássico M/M/1  : fator de utilização do sistema
 =  . X =  / µ Condição de estabilidade:  < µ   < 1 (Já estudamos  no módulo 3)

12 ADSD O Sistema Clássico M/M/1 cálculo de pk e p0
Desenvolvendo (Vide Kleintock), chega-se a: p0 = (1 -  / µ) = 1 -  (já conhecíamos) e pk = (1 -  )k , para k = 0,1,2, ....

13 ADSD O Sistema Clássico M/M/1 N =  k. pk , desenvolvendo chega-se a
N: Número médio de fregueses no sistema (fila + servidor)  N =  k. pk , desenvolvendo chega-se a k=0 N =  / (1 - ) N   1

14 ADSD O Sistema Clássico M/M/1
T: Tempo médio de resposta (tempo médio de fila (W) tempo médio de serviço (X = 1/ µ ) Usando a Lei de Little: N =  T T = N/  T = (1/ µ ) / (1 -  ) = 1/ µ (1 -  ) Equação básica na análise de atrasos em sistemas de redes de filas T 1/µ 1 1  

15 ADSD Exemplo 01: Um aluno de curso de CC trabalha na recepção da miniblio do DSC durante um expediente. Os usuários chegam à miniblio conforme um processo de Poisson com média 10 por hora. O aluno atende um usuário de cada vez. O tempo de atendimento é conforme uma distribuição exponencial com média de 4 minutos. 1) Qual a probabilidade de formar uma fila de usuários? 2) Qual o comprimento médio dessa fila? 3) Qual o tempo médio para um usuário em fila? 4) Quantos minutos por hora o aluno fica livre para navegar na internet?

16 ADSD Exemplo 01: Temos: : taxa média de chegada = 10 usuários/hora
µ: taxa média de atendimeto = 15 usuários/hora = 4 min/usuário  : fator de utilização =  / µ = 10/15 = 2/3 (µ) () Sistema M/M/1

17 ADSD Exemplo 01: Solução M/M/1
1) Qual a probabilidade de formar uma fila de usuários? P [formar fila] = 1 - (p0 + p1), Temos; pk = (1 -  )k, então: P [formar fila] = 1 - [(1-2/3} + (1-2/3).2/3] = 4/9 2) Qual o comprimento médio dessa fila? Nq =  . W = T X = 1/ µ (1 -  ) / µ =   / µ (1 -  ) = 1,3 usuários

18 ADSD Exemplo 01: 3) Qual o tempo médio para um usuário no sistema?
T = 1/ µ (1 -  ) = 1/ 15(1/3) = 1/ 5 hora = 12 minutos por hora 4) Quantos minutos por hora o aluno fica livre para navegar na internet? % tempo livre = p0 = 1 -  = 1/3 horas = 20 minutos por hora

19 ADSD Exemplo 02: Um canal de comunicação com capacidade igual a 50 Kbits/seg é o enlace principal de uma rede de comutação de pacotes. O comprimento dos pacotes na rede é de 1k bits. Pacotes chegam em um roteador para serem transmitidos pelo canal conforme uma distribuição exponencial com taxa média de 35 pacotes/seg (processo de chegada Poisson). Supõe-se que há buffers suficientes para atender a demanda de pacotes que devem aguardar a vez de serem transmitidos, um de cada vez, conforme ordem de chegada (disciplina FCFS).  = 35 p/s (1kbits) C = 50 p/s

20 ADSD Sistema M/M/1 Desejamos Conhecer 1. A utilização do canal
2. O número médio de pacotes no sistema (fila + serviço) 3. O atraso médio de um pacote (tempo médio de fila + tempo médio de transmissão)  = 35 p/s (1kbits) C = 50 p/s

21 ADSD Sistema M/M/1 µ   = 35 p/s (1kbits) C = 50 p/s Sistema M/M/1
A fila se forma no roteador O canal é o servidor  Sistema M/M/1

22 ADSD Sistema M/M/1 Temos:  = 35 pacotes/seg
Para usarmos a solução M/M/1, assumimos que a distribuição dos comprimentos dos pacotes é exponencial, com média 1/ µ (1kbit) Podemos agora determinar o tempo de transmissão de um pacote no canal conforme a distribuição exponencial com média igual a 1/µC = 0,02 seg (a taxa média de transmissão de pacotes no canal é µC = 50 pacotes / seg)

23 ADSD Sistema M/M/1 1. Utilização do Canal:  =  / µ
 =  / µC = 35 / 50 = 0, 7 (o canal transmite durante 70% do tempo em que está ativo) 2. O número médio de pacotes no sistema (fila + serviço): N =  / (1 - ) N = 0,7/ (1 - 0,7 ) = 2,33 pacotes 3. Atraso médio de um pacote (tempo médio de fila + tempo médio de transmissão): T = (1/ µ ) / (1 -  ) T = (1/ µ C) / (1- ) = 1 / (µC- ) = (1 / ( ) = 0,066 seg

24 ADSD Continuamos na próxima aula