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Os axiomas de Zermelo-Fraenkel
Gabriel Portal Jonas Hartmann Mell Fogliatto
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Zermelo e Fraenkel Ernest Zermelo (1871 – 1953)
- Publicou a axiomatização de conjuntos em 1908, sem provar sua consistência Adolf Fraenkel (1891 – 1965) - Provou a teoria de Zermelo, criando os axiomas de Zermelo-Fraenkel. Axioma = Ponto de partida num sistema formal lógico Todo elemento é um conjunto
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Axioma da Extensão Dado qualquer conjunto A e qualquer conjunto B, A é igual a B se e somente se, dado um conjunto C qualquer, C pertence à A apenas se C pertence à B
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Axioma Esquema de Separação
Dado qualquer conjunto A, existe um conjunto B que, dado qualquer conjunto C, C é um elemento de B se e somente se C é um elemento de A e C satisfaz um predicado P
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Axioma Esquema de Separação
brasileiros B mulheres brasileiras M(A)
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Axioma dos Conjuntos Elementares
Dado um conjunto A qualquer e um conjunto B qualquer, existe um conjunto C tal que, dado um conjunto D qualquer, D é um elemento de C se e somente se D é igual a A ou D é igual a B
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Axioma da Regularidade
Todo conjunto não-vazio A contém um elemento B que é disjunto de A
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A 1 2 B 3 A = {{1},2,3} B = {1} A B =
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Axioma da União Para cada conjunto A existe um conjunto B, cujos elementos são precisamente os elementos dos elementos de A.
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A B 2 1 4 3 5 3 2 4 5 1 6 6
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Axioma da Potência Dado qualquer conjunto A, existe um conjunto P(A) tal que, dado qualquer conjunto B, B é um elemento de P(A) se e somente se B é um subconjunto de A
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P(A) = {{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
B = {a,b} C = {a,b,e} B P(A) C P(A) X
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Axioma do Infinito Existe um conjunto x, tal que o conjunto vazio está contido nele; e seja qual for o elemento y que for escolhido de x, x também conterá seu sucessor. - Princípio Indutivo -
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Axioma da Substituição
Se, dado qualquer conjunto x, existe um único conjunto y tal que o predicado P de aridade 2 é satisfeito por x e y - P(x, y). Então, dado qualquer conjunto A existe um conjunto B, tal que, dado qualquer conjunto y, y é membro de B se e somente se o conjunto x é membro de A e P é satisfeito por x e y
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Axioma da Escolha Dado um conjunto X qualquer, formado de conjuntos não-vazios, então é possível escolher um único membro de cada conjunto de X.
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Se você tiver uma coleção de cestas, cada qual contendo pelo menos um objeto, então é possível pegar exatamente um objeto de cada cesta -- mesmo que haja um número infinito de cestas e não haja nenhuma regra que estabeleça qual objeto de cada cesta deve ser escolhido.
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Fim Obrigado! Perguntas? http://pt.wikipedia.org/wiki/
Paul R. Halmos, Naive Set Theory, Springer-Verlag, 1974 H.C. Doets, Zermelo-Fraenkel Set Theory, 2002 Elaine Pimentel, Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, 2005
