PROBABILIDADES.

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1 PROBABILIDADES

2 Uma experiência é um processo que conduz a um resultado pertencente a um conjunto previamente fixado, designado por espaço amostral ou universo de resultados. Habitualmente, este conjunto representa-se por S, Ω ou E e os seus elementos designam-se por casos possíveis. Uma experiência determinista é uma experiência com um único caso possível. Uma experiência aleatória é uma experiência com mais do que um caso possível, não sendo possível prever com exatidão o seu resultado, mesmo quando realizada nas mesmas condições. Exemplos: «Lançar uma moeda não viciada ao ar e anotar a face que fica voltada para cima» «Lançar uma moeda não viciada ao ar 20 vezes e anotar quantas vezes a face nacional fica voltada para cima» «Lançar um dado equilibrado e verificar a face que fica voltada para cima» «Lançar dois dados equilibrados, um preto e um branco, e verificar as faces que ficam voltadas para cima» «Lançar três moedas equilibradas ao ar e anotar as faces que ficam voltadas para cima»

3 Cada um dos subconjuntos do espaço amostral de uma experiência aleatória designa-se por Acontecimento. Os elementos de um acontecimento designam-se por casos favoráveis a esse acontecimento. O conjunto vazio designa-se por Acontecimento Impossível. O espaço amostral designa-se por Acontecimento Certo. Se existir apenas um caso que lhe seja favorável, o acontecimento designa-se por Elementar. Se existir mais do que um caso que lhe seja favorável, o acontecimento designa-se por Composto. O facto de existir um paralelismo entre conjuntos e acontecimentos permite-nos efetuar operações com acontecimentos (interseção, reunião, complementar, …)

4 Exercício Considera a experiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, uma família com três filhos e anotar o género de cada um, considerando a ordem pela qual nasceram. Seja F: “o filho é do sexo feminino” e M:”o filho é do sexo masculino” 1. Indica o espaço amostral 2. Dá um exemplo de um acontecimento: elementar; b) composto c) certo 3. Indica o subconjunto do espaço amostral associado a cada um acontecimentos seguintes: “Ter exatamente um filho do sexo feminino” “Ter pelo menos um filho do sexo feminino” “Ter no máximo dois filhos do sexo feminino” “Ter no mínimo dois filhos do sexo feminino” “Não ter nenhum filho do sexo feminino”

5 Definição de probabilidade
ESPAÇOS DE PROBABILIDADES Definição de probabilidade Dado um conjunto finito 𝐸 define-se como probabilidade no conjunto 𝓟(𝑬) das partes de 𝑬 toda a função 𝑃 de domínio 𝒫(𝐸) tal que: ∀𝐴∈𝒫 𝐸 , 𝑃 𝐴 ≥0 𝑃 𝐸 =1 ∀𝐴,𝐵∈𝒫 𝐸 , 𝐴∩𝐵=∅⇒𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃(𝐵) Neste contexto o conjunto 𝐸 designa-se por espaço amostral ou universo dos resultados, 𝒫 𝐸 por espaço dos acontecimentos, 𝑃 𝐴 por probabilidade do acontecimento A , para 𝐴∈𝒫(𝐸), e o terno 𝐸, 𝒫 𝐸 ,𝑃 por espaço de probabilidade.

6 Linguagem de acontecimentos
Dado um conjunto finito 𝐸 e uma probabilidade 𝑃 no conjunto 𝒫(𝐸), dois acontecimentos 𝐴, 𝐵∈𝒫(𝐸) designam-se por: incompatíveis, ou, mutuamente exclusivos, se forem disjuntos, ou seja, 𝐴∩𝐵=∅; contrários, ou, complementares, se forem disjuntos e a sua união for igual a 𝐸, isto é, se 𝐴∩𝐵=∅ e 𝐴∪𝐵=𝐸. O acontecimento contrário de 𝑨 representa-se por 𝑨 . O conjunto vazio designa-se por acontecimento impossível. O espaço amostral 𝐸 designa-se por acontecimento certo. Um acontecimento 𝐴⊂𝐸 tal que #𝐴=1 designa-se por elementar. Um acontecimento 𝐴⊂𝐸 tal que #𝐴≥2 designa-se por composto.

7 Exercícios Manual, página 74, 1 Exercício Considera um dado cúbico equilibrado, com as faces com cores diferentes, e a experiência aleatória que consiste em lançar três vezes consecutivas o dado referido. O acontecimento contrário do acontecimento “saírem três faces de cor diferente” é: “Saírem três faces da mesma cor” “Saírem exatamente duas faces com a mesma cor” “Saírem, pelo menos, duas faces com a mesma cor” “Saírem, no máximo, duas faces com a mesma cor” Exercício Indica, justificando, o valor lógico das seguintes proposições: Se dois acontecimentos são contrários, então são incompatíveis. Se dois acontecimentos são incompatíveis, então são contrários.

8 Definição de Laplace de probabilidade
Dada uma experiência aleatória cujos casos possíveis sejam equiprováveis, define-se como probabilidade de um acontecimento 𝑨, e representa-se por 𝑷(𝑨), o quociente entre o número de casos favoráveis a 𝐴 #𝐴 e o número de casos possíveis #𝐸 : 𝑷 𝑨 = #𝑨 #𝑬 Nota: Dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são equiprováveis quando são igualmente prováveis, ou seja, 𝑃 𝐴 =𝑃(𝐵).

9 Exercício Uma roda de um jogo encontra-se dividida em três setores de igual amplitude, numerados de 1 a 3. A roda é colocada a girar duas vezes. De cada vez, a pontuação obtida é o número para o qual a seta está apontar. Calcula a probabilidade dos seguintes acontecimentos: “As pontuações obtidas são iguais” “Nenhuma pontuação é 2” “Pelo menos uma pontuação é 3” “Nenhuma pontuação é 2 e ambas as pontuações são iguais” “Nenhuma pontuação é 2 ou ambas as pontuações são iguais”

10 Exercício Numa determinada universidade verificou-se que, de entre os 115 alunos do primeiro ano do curso de Matemática com três disciplinas: 57 foram aprovados a Cálculo; 45 foram aprovados a Álgebra; 87 foram aprovados a Estatística; 28 foram aprovados a Cálculo e a Álgebra; 35 foram aprovados a Cálculo e a Estatística; 30 foram aprovados a Álgebra e a Estatística; 15 foram aprovados a Cálculo, Álgebra e a Estatística Determina a probabilidade de, escolhendo um aluno ao acaso, este: Ter obtido aprovação apenas na disciplina de Álgebra; Ter obtido aprovação apenas a uma disciplina; Não ter obtido aprovação a nenhuma disciplina.

11 Exercícios Manual Página 76, 2 Página 77, 3 Página 78, 4 Página 79, 5

12 Exercício Manual, Página 80, 6

13 PROPRIEDADES DA FUNÇÃO PROBABILIDADE

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16 𝑃 𝐴∩ 𝐵 =𝑃 𝐴 −𝑃(𝐴∩𝐵)

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19 Exercícios Manual Página 83, 7, 8, 9 Página 84, 10

20 Definição de probabilidade condicionada
Dada uma probabilidade 𝑃 e dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵, com 𝑃 𝐵 ≠0, designa-se por probabilidade de 𝑨 se 𝑩, ou probabilidade condicionada de 𝑨 se 𝑩 ou probabilidade de ocorrer 𝑨 sabendo que ocorreu 𝑩, e representa-se por 𝑷 𝑨 𝑩 , o número real: 𝑷 𝑨 𝑩 = 𝑷 𝑨∩𝑩 𝑷 𝑩

21 Exercícios Manual Página 87, 11, 12 Página 88, 13 Página 89, 14

22 Probabilidade da interseção de dois acontecimentos A e B
Dada uma experiência aleatória de espaço amostral finito 𝐸 e dois acontecimentos 𝐴⊂𝐸 e 𝐵⊂𝐸, com 𝑃 𝐴 >0 e 𝑃 𝐵 >0, tem-se: 𝑷 𝑨∩𝑩 =𝑷 𝑨 × 𝑷 𝑩 𝑨 e 𝑷 𝑨∩𝑩 =𝑷 𝑩 × 𝑷 𝑨 𝑩

23 1 – Diagrama de árvore de probabilidades

24 2 – Tabela de contingência
𝐵 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐴 𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐴∩ 𝐵 ) 𝑃(𝐴) 𝑃( 𝐴 ∩𝐵) 𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑃( 𝐴 ) 𝑃(𝐵) 𝑃( 𝐵 ) 1

25 Exercícios Manual Página 90, 15 Página 91, 16 Página 92, 17, 18

26 ACONTECIMENTOS INDEPENDENTES – TEMA FACULTATIVO
Exercícios Manual Página 94, 19 Página 95, 20, 21 Página 96, 22

27 Teorema da probabilidade total – Tema Facultativo
Dado um conjunto finito 𝐸, uma probabilidade 𝑃 no conjunto 𝒫 𝐸 , 𝑟∈IN e uma partição { 𝐵 1 , 𝐵 2 ,…, 𝐵 𝑟 } de 𝐸 constituída por acontecimentos de probabilidade não nula, tem-se que, para qualquer acontecimento 𝐴∈𝒫(𝐸), 𝑷 𝑨 =𝑷 𝑩 𝟏 𝑷 𝑨 𝑩 𝟏 +𝑷 𝑩 𝟐 𝑷 𝑨 𝑩 𝟐 +…+𝑷 𝑩 𝒓 𝑷 𝑨 𝑩 𝒓

28 Exercícios Manual Página 98, 23 Página 99, 24