ALGEBRA LINEAR DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES

Apresentação em tema: "ALGEBRA LINEAR DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES"— Transcrição da apresentação:

1 ALGEBRA LINEAR DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES
Prof. Ademilson

2 Diagonalização de Operadores
Sabemos que muitos sistemas podem ser representados por matrizes e a manipulação dessas matrizes implica em análise, melhorias e cálculos desses sistemas. Imagine que essas matrizes, em determinados casos, não sejam simples de serem manipuladas, então devemos encontrar matrizes o mais simples possível para representar esses sistemas e assim ganhar em tempo de processamento e custo operacional. Uma das formas de obter essa simplificação consiste em encontrarmos uma matriz diagonal que seja semelhante à original, e a esse processo chamamos de diagonalização de matrizes.

3 A diagonalização de matrizes consiste na obtenção de uma matriz diagonal que seja equivalente à matriz original. O que motiva a obtenção dessa matriz equivalente diagonal são as suas características. Por apresentar todos os elementos fora da diagonal principal diferentes de zero, isso implica, matematicamente, em uma redução significativa no custo de processamento dessa matriz.

4 Matrizes equivalentes
Para entender melhor como a matriz diagonal pode ser semelhante a uma matriz qualquer quadrada, vejamos a seguir o que é preservado em matrizes semelhantes. Considere duas matrizes A e B que sejam semelhantes: * As características (postos) são iguais. * As nulidades são iguais. * Os polinômios característicos são iguais. * Os determinantes são iguais. * Os autovalores são iguais.

5 Com esses pontos iguais, então podemos afirmar que duas matrizes são semelhantes. O desafio consiste então em encontrar uma matriz diagonal que preserve todos esses itens da matriz original. Por definição, dizemos que duas matrizes A e B são semelhantes se existir uma matriz P, inversível, tal que:

6 Autovalores e autovetores
Matriz diagonal Se B é uma matriz diagonal semelhante à A e os autovalores são preservados quando as matrizes são semelhantes, então a única possibilidade de B ter os mesmos autovalores de A é se os elementos da diagonal de B forem os próprios autovalores de A: Se quisermos apenas saber qual a matriz diagonal equivalente, então basta encontrarmos os autovalores da matriz A, porém, muitos problemas requerem encontrar a matriz que diagonaliza A, uma vez que essa simplificação na matriz de trabalho implica em uma mudança de coordenadas e é muito provável que todos os dados envolvidos com o sistema original necessitem migrar para esse novo sistema de coordenadas.

7 Matriz que diagonaliza a matriz A
Para encontrarmos a matriz que diagonaliza A, devemos encontrar os autovetores da matriz A, uma vez conhecidos os autovetores v1, v2, v3,..., vn, basta montar a matriz P com os autovetores por coluna: P =[v1|v2|v3|···|vn] A única ressalva é que os autovetores sejam linearmente independentes (LI), pois P deve ser inversível. Portanto, se os autovetores forem LI e a quantidade de autovetores for igual à ordem da matriz A, então dizemos que A é diagonalizável.

8 Exemplo: Encontre a matriz que diagonaliza Encontrar os autovalores: det(λI – A) = 0

9 Encontrar os autovetores:

10 Como todas as constantes são iguais a zero, então o conjunto é LI.
Verificando se os autovetores são LI: Como todas as constantes são iguais a zero, então o conjunto é LI.

11 Montando a matriz P: Verificando: Matriz diagonal formada a partir dos autovalores de A.

12 Exemplo) Seja o operador linear T: R² R², T(x, y) = ( - 3x – 5y, 2y )
A matriz canônica de T é: A equação característica de T é: São autovalores de T, que formam uma base de R².

13 Calculando os autovetores por meio do sistema homogêneo, temos:
para λ1 = 2, temos v1 = (1, -1) para λ2 = -3, temos v2= (-1, 0) Logo, o conjunto {(1, -1), (-1, 0)} é uma base de R².

14 Exemplo) Seja o operador linear T: R² R², T(x, y) = ( 4x + 5y, 2x + y ).
Encontrar uma base de R² em relação à qual a matriz de T é diagonal: Encontrar os autovalores do operador linear:

15 Exemplo) Seja o operador linear T: R² R², T(x, y) = ( 4x + 5y, 2x + y ).
Encontrar uma base de R² em relação à qual a matriz de T é diagonal: Encontrar os autovetores do operador linear: O sistema admite uma infinidade de Soluções próprias: Para Assim, os vetores v1 = (x, -x) = x(1, - 1), x≠0, São autovetores associados ao valor λ1 = -1.

16 Exemplo) Seja o operador linear T: R² R², T(x, y) = ( 4x + 5y, 2x + y ).
Encontrar uma base de R² em relação à qual a matriz de T é diagonal: O sistema admite uma infinidade de Soluções próprias: Para Assim, os vetores v2 = (x, 2x/5) = x(5, 2), x≠0, São autovetores associados ao valor λ2 = 6.

17 Encontrar uma base de R² em relação à qual a matriz de T é diagonal:
Exemplo) Seja o operador linear T: R² R², T(x, y) = ( 4x + 5y, 2x + y ). Encontrar uma base de R² em relação à qual a matriz de T é diagonal: Os autovetores são λ1 = -1 e λ2 = 6 e os respectivos autovetores são v1 = x(1, - 1) e v2 = x(5, 2), A base em relação à qual a matriz de T é diagonal é P={(5, 2), (1, -1)} Logo, temos a matriz: onde P, é a matriz que diagonaliza A, isto é:

18 Potenciação de Matrizes
A diagonalização de matrizes permite-nos calcular potências de matrizes. Para isso, aplicaremos: Ak = PDk P-1 Onde k é qualquer expoente inteiro. Dessa forma, se conhecemos a matriz diagonal e a matriz que diagonaliza A, podemos calcular qualquer potência de A.

19 Sabemos que A15 = PD15 P-1 , então devemos encontrar D e P.
Exemplo) Calcule A15 , onde Sabemos que A15 = PD15 P-1 , então devemos encontrar D e P. Encontrar os autovalores: Encontrar os autovetores:

20 Verificando se os autovetores são LI: Como não são múltiplos um do outro, então são LI.
Matriz diagonal: Matriz que diagonaliza A: Logo: