Unidade 1: Analise Combinatória 1.1 Conjunto e operações sobre conjunto 1.2 Factorial 1.3 Princípio fundamental da contagem ( princípio multiplicativo)

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2 Unidade 1: Analise Combinatória 1.1 Conjunto e operações sobre conjunto 1.2 Factorial 1.3 Princípio fundamental da contagem ( princípio multiplicativo) 1.4 Permutações (arranjos) 1.5 Combinações 1.6 Teorema binomial 1.7 Experimento não - determinístico 1.8 Espaço Amostral 1.9 Eventos 1.10 Conceitos de probabilidade 1.11 Probabilidade condicionada e independência 10-02-20141

3 1.2 Factorial 1.3 Principio fundamental da contagem (princípio multiplicativo) 1.2.1 Definir factorial 1.2.2 Calcular um número factorial 1.3.1 Resolver problemas de escolhas independentes de casos usando princípio multiplicativo 10-02-20142

4 Análise Combinatória. Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, é responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória. Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória. Para efetuar os cálculos desses problemas devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória: - Princípio fundamental da contagem - Factorial - Arranjos simples - Permutação simples - Combinação - Permutação com elementos repetidosestudo

5 Problemas de contagem Um probleminha que surge logo quando você vai calcular algum problema de combinatória é quando somar? ou quando multiplicar?Veja o quadro abaixo: Raciocínio Lógico Soma (+) Principio aditivo Multiplicar (*) Princípio Mulplicativo ou Teorema Fundamental de contagem Divisão em casos do problema -Ideia do OU Decisões em sequência do problema -Ideia do E

6 Problemas 1: Eu tenho: 4 uva e 3 pera,resolva minhas duvidas! 1º problema:De quantas maneiras eu posso escolher uma fruta.Veja que se formos falar o problema falaríamos assim:”1 uva ou 1 pera?” A ideia do “ou” então: (divide em casos), Caso seja uva é 4 + 3 pera= 7 possibilidades de frutas 2º problema:De quantas maneiras eu posso escolher 1 uva e 1 pera. O “e” então sem duvida estamos diante de (decisões em sequencias).1 uva e 1 pera então:4*3=12 maneiras.. Raciocínio Lógico

7 Factorial Sendo n um número inteiro maior que 1, define- se fatorial de n como o produto dos n números naturais consecutivos de n a 1. O factorial de um número consiste na Multiplicação sucessiva desse número por todos os seus antecessores naturais 10-02-20146

8 Factorial FACTORIAL 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1 = 24 3! = 3.2.1 = 6 2! = 2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO Exemplo: Calcular o valor de: a) 4! + 3!b) 7! 24 + 6 30 7.6.5.4.3.2.1 5040 Observe que: 4!+3!  7! c) n! = n.(n  1). (n  2). (n  3)..... 2. 1 = 8! 10.9.8! 90 = Note que: 4! = 4. 3! 5! = 5. 4! 2,5! = não existe (só calculamos fatorial de número natural)

9 d) – 49! 49! 50. 49! (50 – 1) 49! 49 O conjunto solução de: é: (n – 1)! = 210 (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3).... (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)! (n + 1).n.(n – 1)! (n + 1).n = 210 n 2 + n – 210 = 0 n’ = 14 n’’ = - 15 (não convém) Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação (m – 3)! = 1 (m – 3)! = 1!ou (m – 3)! = 0! m – 3 = 1 m = 4 m – 3 = 0 m = 3 Logo a soma dos valores de m é 7

10 Princípio Fundamental da Contagem (PFC) O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que: E 1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E 2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : E n é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E 1. E 2...........E k é o número total de possibilidades do evento ocorrer.

11 Principio aditivo e multiplicativo Princípio Aditivo: Se A e B forem conjuntos disjuntos – isto é, com intersecção vazia, e o número de elementos de A é p e o número de elementos de B é q, então o conjunto tem p + q elementos. Princípio Multiplicativo: Se um evento A pode ocorrer de p maneiras distintas e um evento B pode ocorrer de q maneiras distintas, então o evento A seguido do, ou simultâneo ao, evento B pode ocorrer de p. q maneiras distintas. Vamos ver um exemplo para ilustrar cada caso: 1) Rodrigo tem 10 dvds de Acção, 5 de Comédia e 2 de Terror. De quantas maneiras ele pode escolher um dvd para assistir? Solução: como os dvds de ação, de comédia e de terror são conjuntos disjuntos, ou seja, não tem nada em comum, e como Rodrigo que assistir a apenas um filme sem nenhuma restrição, ele poderá assistir a um filme de 10 + 5 + 2 = 17 maneiras diferentes. 10-02-201410

12 Principio aditivo e multiplicativo 2) Agora, suponha que Rodrigo queira assistir a um filme de Acção, a um filme de Comédia e a um filme de Terror. De quantas maneiras ele poderá assistir? Solução: Rodrigo deverá assistir a três filmes. O primeiro deverá ser de Ação, logo ele tem 10 possibilidades; para cada filme de Ação, ele poderá assistir a 5 Comédias e, para cada Comédia, 2 filmes de Terror. Logo, Rodrigo poderá assistir a um filme de cada gênero de 10. 5. 2 = 100 formas diferentes. 10-02-201411

13 Exemplo 3 Uma fábrica produz automóveis, cujos modelos podem ser escolhidos de acordo com alguns opcionais. Os clientes podem decidir entre as seguintes opções: Modelo: descapotável ou não descapotável Combustível: gasolina, diesel ou gás. De quantas formas se pode escolher um carro com essas opções?

14 Resolução Sabemos que existem duas opções quanto ao modelo (descapotável ou não descapotável) e três opções para o combustível (gasolina, diesel ou gás). De acordo com o princípio fundamental da contagem, o número de possibilidades que temos ao todo é dado pelo produto das possibilidades de cada evento individual. Dessa forma, o número de possibilidades é igual a 2.3 = 6 possibilidades.

15 Observe que esse resultado condiz com a realidade. Observe o diagrama abaixo. De acordo com o diagrama as opções são: {descapotável e gasolina; descapotável e gás; descapotável e diesel; não descapotável e gasolina; não descapotável e gás; não descapotável e diesel}

16 Exemplo PFC - 4 Quantas placas para identificação de veículos (matriculas) podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 26 10 = 175. 760. 000

17 Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados ? Alguns números possíveis 244 3215 244 5138 244 0008 244 2344 244 0000 : : : Usando o princípio fundamental da contagem: 244 10 = 10 000 números fixo