Trabalho de Métodos Numéricos

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1 Trabalho de Métodos Numéricos
Bruna Ramos Cristiane Lampes Érica de Oliveira Joana Marques

2 Curvas de Bézier

3 Curvas de Bézier Curvas implementadas em paralelo por Piérre Bézier e por Paul de Casteljau enquanto trabalhavam na Renault e na Citroen, respectivamente. Casteljau criou um algoritmo matematicamente estável que pode ser usado para as implementar. Curvas de Bézier são baseadas na idéia de repetir interpolações lineares.

4 Uma curva de Bézier: É definida por vários pontos (pontos de controle), sendo que o primeiro e o último pertencem à curva; É de classe C1 no intervalo onde está definida e é de classe C0 nos extremos;

5 As retas definidas pelos seus primeiro e segundo e pelos último e penúltimo pontos de controle são tangentes à curva nos seus extremos, respectivamente;

6 Forma Geral A curva de Bézier de grau n pode ser generalizada da seguinte maneira. Dados os pontos P0, P1, P2, ..., Pn, temos que:

7 Alguns exemplos de curva de Bézier
Curvas Lineares de Bézier n=1 Dois pontos de controle: P0 e P1 A curva é dada pela equação: Uma Curva Linear de Bézier é o segmento de reta que une os dois pontos de controle.

8 Curva Linear de Bézier

9 Curvas Quadráticas de Bézier
n=2 Três pontos de controle: P0, P1 e P2. A curva é dada pela equação:

10 Curva Quadrática de Bézier

11 Curvas Cúbicas de Bézier
n=3 Quatro pontos de controle: P0, P1,P2 e P3 A curva é dada pela equação:

12 Curva Cúbica de Bézier

13 Curva de Ordem Superior de Bézier

14 Curvas Racionais de Bézier
Temos de construir uma função que estabeleça o peso que cada ponto de controle estabelece em cada momento, ao longo da curva. Uma das funções mais utilizadas para esse efeito são os Polinômios de Bernstein.

15 CURIOSIDADES A Curva de Bézier é infinitamente derivável.
O controle de uma Curva de Bézier é global. Modificar um ponto de controle implica em modificar completamente a curva. A curva começa no ponto Po e termina no ponto Pn. Esta peculariedade é chamada interpolação do ponto final. A curva é um segmento reto se, e somente se, todos os pontos de controle estão alinhados. Algumas curvas que parecem simples, tal como uma circunferência, não podem ser descritas de maneira exata por Curvas de Bézier.

16 Algumas Aplicações Indústria Automobilística e Aeronáutica

17 Próteses médicas

18 Modelação gráfica

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21 Criação de fontes de escrita

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