A) Introdução. Noções Fundamentais.

Apresentação em tema: "A) Introdução. Noções Fundamentais."— Transcrição da apresentação:

1 A) Introdução. Noções Fundamentais.
B) Principais resultados matemáticos C) Adequabilidade dos dados D) Extração de factores E) Validação do modelo F) Rotação de factores José Filipe Rafael Revisões de Estatística: Distribuições conjuntas

2 A) Introdução. Noções Fundamentais.
B) Principais resultados matemáticos C) Adequabilidade dos dados D) Extração de factores E) Validação do modelo F) Rotação de factores José Filipe Rafael Revisões de Estatística: Distribuições conjuntas

3 Muitas variáveis que podem reflectir uma mesma força ou “factor”
Redução de informação Interpretar o comportamento dos dados identificando os factores subjacentes Exemplo: ficheiro “vendedor.sav” José Filipe Rafael

4 José Filipe Rafael

5 A) Introdução. Noções Fundamentais.
B) Principais resultados matemáticos C) Adequabilidade dos dados D) Extração de factores E) Validação do modelo F) Rotação de factores José Filipe Rafael Revisões de Estatística: Distribuições conjuntas

6 X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP Estrutura dos dados: P variáveis
índice de variável X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP P variáveis José Filipe Rafael

7 i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP Estrutura dos dados: índice para o índivíduo
José Filipe Rafael

8 i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP x11 x12 x13 x1 P-1 x1P Estrutura dos dados:
José Filipe Rafael

9 i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP x11 x12 x13 x1 P-1 x1P x21 x22 x23 x2 P-1
Estrutura dos dados: i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP 1 x11 x12 x13 x1 P-1 x1P 2 x21 x22 x23 x2 P-1 x2P José Filipe Rafael

10 i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP x11 x12 x13 x1 P-1 x1P x21 x22 x23 x2 P-1
Estrutura dos dados: i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP 1 x11 x12 x13 x1 P-1 x1P 2 x21 x22 x23 x2 P-1 x2P 3 x31 x32 x33 x3 P-1 x3P José Filipe Rafael

11 i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP x11 x12 x13 x1 P-1 x1P x21 x22 x23 x2 P-1
Estrutura dos dados: i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP 1 x11 x12 x13 x1 P-1 x1P 2 x21 x22 x23 x2 P-1 x2P 3 x31 x32 x33 x3 P-1 x3P 4 x41 x42 x43 x4 P-1 x4P José Filipe Rafael

12 i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP x11 x12 x13 x1 P-1 x1P x21 x22 x23 x2 P-1
Estrutura dos dados: i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP 1 x11 x12 x13 x1 P-1 x1P 2 x21 x22 x23 x2 P-1 x2P 3 x31 x32 x33 x3 P-1 x3P 4 x41 x42 x43 x4 P-1 x4P José Filipe Rafael

13 observação da variável Xj para o índivíduo i
Estrutura dos dados: i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP 1 x11 x12 x13 x1 P-1 x1P 2 x21 x22 x23 x2 P-1 x2P 3 x31 x32 x33 x3 P-1 x3P 4 x41 x42 x43 x4 P-1 x4P xi1 xi2 xi3 xij xi P-1 xiP observação da variável Xj para o índivíduo i José Filipe Rafael

14 i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP x11 x12 x13 x1 P-1 x1P x21 x22 x23 x2 P-1
Estrutura dos dados: i X1 X2 X3 ... Xj XP-1 XP 1 x11 x12 x13 x1 P-1 x1P 2 x21 x22 x23 x2 P-1 x2P 3 x31 x32 x33 x3 P-1 x3P 4 x41 x42 x43 x4 P-1 x4P xi1 xi2 xi3 xij xi P-1 xiP n-1 xn-1 1 xn-1 2 xn-1 3 xn-1 P-1 xn-1 P n xn 1 xn 2 xn 3 xn P-1 xn P José Filipe Rafael

15 x11 x12 x13 x1 P-1 x1P x21 x22 x23 x2 P-1 x2P x31 x32 x33 x3 P-1 x3P
Estrutura dos dados: x11 x12 x13 x1 P-1 x1P x21 x22 x23 x2 P-1 x2P x31 x32 x33 x3 P-1 x3P x41 x42 x43 x4 P-1 x4P xi1 xi2 xi3 xij xi P-1 xiP xn-1 1 xn-1 2 xn-1 3 xn-1 P-1 xn-1 P xn 1 xn 2 xn 3 xn P-1 xn P matriz dos dados José Filipe Rafael

16 x11 x12 x13 x1 P-1 x1P x21 x22 x23 x2 P-1 x2P x31 x32 x33 x3 P-1 x3P
Estrutura dos dados: x11 x12 x13 x1 P-1 x1P x21 x22 x23 x2 P-1 x2P x31 x32 x33 x3 P-1 x3P x41 x42 x43 x4 P-1 x4P xi1 xi2 xi3 xij xi P-1 xiP xn-1 1 xn-1 2 xn-1 3 xn-1 P-1 xn-1 P xn 1 xn 2 xn 3 xn P-1 xn P matriz dos dados ( n x P ) José Filipe Rafael

17 observações para o indíviduo i
Estrutura dos dados: x11 x12 x13 x1 P-1 x1P x21 x22 x23 x2 P-1 x2P x31 x32 x33 x3 P-1 x3P x41 x42 x43 x4 P-1 x4P xi1 xi2 xi3 xij xi P-1 xiP xn-1 1 xn-1 2 xn-1 3 xn-1 P-1 xn-1 P xn 1 xn 2 xn 3 xn P-1 xn P ( n x P ) observações para o indíviduo i José Filipe Rafael

18 observações para o indíviduo i
Estrutura dos dados: xi1 xi2 xi3 xij xi P-1 xiP observações para o indíviduo i José Filipe Rafael

19 observações para o indíviduo i
Estrutura dos dados: xi1 xi2 xi3 xij xi P-1 xiP observações para o indíviduo i ( 1 x P ) José Filipe Rafael

20 Construir M (<P) novas variáveis que “resumam” as P originais
Objectivo: Construir M (<P) novas variáveis que “resumam” as P originais i X1 X2 ... XP 1 x11 x12 x1P 2 x21 x22 x2P 3 x31 x32 x3P 4 x41 x42 x4P xi1 xi2 xiP n-1 xn-1 1 xn-1 2 xn-1 P n xn 1 xn 2 xn P José Filipe Rafael

21 Construir M (<P) novas variáveis que “resumam” as P originais
Objectivo: Construir M (<P) novas variáveis que “resumam” as P originais i X1 X2 ... XP Y1 YM 1 x11 x12 x1P y11 y1M 2 x21 x22 x2P y21 y2M 3 x31 x32 x3P y31 y3M 4 x41 x42 x4P y41 y4M xi1 xi2 xiP yi1 yiM n-1 xn-1 1 xn-1 2 xn-1 P yn-1 1 yn-1 M n xn 1 xn 2 xn P yn 1 yn M José Filipe Rafael

22 Xj Yk x1j y1k x2j y2k x3j y3k x4j y4k xij yik xn-1 j yn-1 k xn j yn k
Notação: Xj Yk x1j y1k x2j y2k x3j y3k x4j y4k xij yik xn-1 j yn-1 k xn j yn k ( 1 x n ) ( 1 x n ) José Filipe Rafael

23 Definição: Cada nova variável Yk é uma combinação linear das P variáveis originais onde: José Filipe Rafael

24 Definição: Cada nova variável Yk é uma combinação linear das P variáveis originais Se colocarmos os valores de Yk para os n indivíduos num vector: ... José Filipe Rafael

25 Definição: Cada nova variável Yk é uma combinação linear das P variáveis originais Se colocarmos os valores de Yk para os n indivíduos num vector: ( n x 1 ) ( n x P ) ( P x 1 ) José Filipe Rafael

26 Cálculo: As novas variáveis Yk são os factores ou componentes principais São extraídos sucessivamente por forma que: - O primeiro seja a combinação linear das variáveis originais de maior variância, ou seja Mostra-se que corresponde ao primeiro vector próprio da matriz de variâncias-covariâncias das variáveis originais - O segundo seja a combinação linear das variáveis originais de maior variância, desde independente do primeiro Mostra-se que corresponde ao segundo vector próprio da matriz de variâncias-covariâncias das variáveis originais - O mesmo para o terceiro e seguintes ... José Filipe Rafael

27 Cálculo: As novas variáveis Yk , factores ou componentes principais são portanto as combinações lineares das variáveis originais calculadas com os vectores próprios de ordem k Mostra-se que a variância de cada factor é o respectivo valor próprio e ainda que os factores são independentes o que, em simultâneo, pode ser escrito como donde resulta que se se extrairem P factores (M=P) se conserva toda a variância: José Filipe Rafael

28 Exemplo: Calculo das componentes principais para três variáveis tal que: (Mardia, Q4.2) i X1 X2 X3 1 x11 x12 x13 2 x21 x22 x23 3 x31 x32 x33 4 x41 x42 x43 ... xi1 xi2 xi3 M =1 Y1 y11 y21 y31 y41 ... yi1 José Filipe Rafael

29 Exemplo: Calculo das componentes principais para três variáveis tal que: (Mardia, Q4.2) i X1 X2 X3 1 x11 x12 x13 2 x21 x22 x23 3 x31 x32 x33 4 x41 x42 x43 ... xi1 xi2 xi3 M =2 Y1 Y2 y11 Y12 y21 Y22 y31 Y32 y41 Y42 ... yi1 yi2 José Filipe Rafael

30 Exemplo: Calculo das componentes principais para três variáveis tal que: (Mardia, Q4.2) i X1 X2 X3 1 x11 x12 x13 2 x21 x22 x23 3 x31 x32 x33 4 x41 x42 x43 ... xi1 xi2 xi3 M =3 Y1 Y2 Y3 y11 Y12 Y13 y21 Y22 Y23 y31 Y32 Y33 y41 Y42 Y43 ... yi1 yi2 Yi3 José Filipe Rafael

31 Cálculo: Até que ponto as componentes princiapais Yk representam as variáveis originais Xj ? Vamos calcular a correlação entre Yk e Xj Exemplo: Que variáveis representa Y1 ? Que variáveis representa Y2 ? (Mardia, Q4.2) X2 e X3 X1 José Filipe Rafael