Equações Diferenciais

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1 Equações Diferenciais
ED ↔ Uma equação que envolve uma ou mais derivadas de uma função desconhecida. Incógnita - função: y = f(x) ou y = f(t) ou y = y(x) ou y = y(t) Ordem da ED – ordem da maior derivada que a ED contém Ex: (ordem 1) ou (ordem 2) (ordem 3)

2 Solução de uma ED: Uma função y = f(x) (ou y = f(t)) é uma solução de uma ED em um intervalo I se ela satisfaz a ED em I, se na ED, substituindo y e suas derivadas pela função f(x) (ou f(t)) obtivermos uma identidade Exemplo: y = e2x é solução da ED y’ – y = e2x Observar que y = 2ex + e2x também é solução de y’ – y = e2x y = C.ex + e2x é solução de y’ – y = e2x para C є R Solução Geral da ED y’ – y = e2x

3 Uma Curva Integral de uma ED é o gráfico de uma
solução particular dessa ED. Família de curvas integrais corresponde a solução geral da ED (varia de acordo com a constante C.) Ex: y’ = 2x → y = x2 + C

4 O Problema de Valor Inicial
Valor Inicial em uma ED Condição inicial que permite identificar o valor da constante C; Geralmente dado por y0 = f(x0) ou (x0, y0) є curva O Problema de Valor Inicial Encontrar a solução particular da ED que satisfaz a condição inicial. Ex: y = C.ex + e2x é a solução geral Fazendo x = 0 e y = 3 obtemos c = 2 e a solução do problema de valor Inicial é y = 2ex + e2x.

5 Equações lineares de 1ª ordem
Caso mais simples: Ex: q(x) Ex:

6 ED de 1ª Ordem linear Quando a ED pode ser expressa por
Ex: y’ + x2.y = ex → p(x) = x2 e q(x) = ex

7 O Método dos Fatores Integrantes para a solução de
uma ED de 1ª ordem linear Seja Multiplicar pelo Fator Integrante: Como: obtemos:

8 Ou seja: Exemplos: