Introdução aos Sistemas Dinâmicos Exercícios Resolvidos de EDO

Apresentação em tema: "Introdução aos Sistemas Dinâmicos Exercícios Resolvidos de EDO"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução aos Sistemas Dinâmicos Exercícios Resolvidos de EDO
Ensino Superior Introdução aos Sistemas Dinâmicos Exercícios Resolvidos de EDO Modelos Matemáticos Amintas Paiva Afonso

2 1. Com base nas hipóteses do modelo da equação dP/dt = kP, determine uma equação diferencial que descreve a população, P(t), de um país, quando se permite uma imigração de taxa constante r. Solução: Seja: P(t): população do país no tempo t (t em anos) dP/dt: rapidez de troca da população k: constante de proporcionalidade r: população que ingressa no país anualmente de forma constante Na hipótese de que a razão da troca da população em qualquer instante t é proporcional à quantidade da população presente neste instante, a equação diferencial associada à este fenômeno é dP/dt = kP + r

3 2. Um medicamento é injetado na corrente sanguínea de um paciente a um fluxo constante de r g/s. Ao mesmo tempo, esse medicamento desaparece com uma razão proporcional à quantidade x(t) presente em qualquer instante t. Formule uma equação diferencial que descreva a quantidade x(t). Seja: x(t): quantidade de medicamento, em g/s, na corrente sanguínea no tempo t (t em segundos) r: quantidade constante de medicamento que ingressa na corrente sanguínea do paciente continuamente dx/dt: rapidez com que varía a quantidade de medicamento na corrente sanguínea do paciente k: constante de proporcionalidade, k > 0 Supondo que a quantidade de medicamento diminui proporcionalmente à quantidade presente a qualquer instante de tempo t, a ED que descreve esta situação é dx/dt = -kx + r

4 dA/dt = 0 – A/100 lib/min  dA/dt = - A/100 lib/min
3. Suponha que um tanque grande de misturas contenha 300 galões de água a princípio, nele dissolveram 50 libras de sal. No tanque entra água pura com fluxo de 3 gal/min e, com o tanque bem agitado, tendo uma vazão com o mesmo fluxo. Deduza uma equação diferencial que expresse a quantidade A(t) que há no interior do tanque quando o tempo é t. Seja: A(t): quantidade de sal presente no tanque no tempo t (t em segundos) dA/dt: rapidez da troca da quantidade de sal no tanque R1: rapidez com que entra o sal no tanque R2: rapidez com que o sal sai do tanque De tal forma que: dA/dt = R1 – R (1) Temos que: R1 = 0: não está entrando sal no tanque (entra água pura) (2) R2 = (3 gal/min)(A/300 lib/gal) = A/100 lib/min (3) dA/dt = 0 – A/100 lib/min  dA/dt = - A/100 lib/min

5 dV/dt = 100 dh/dt  dh/dt = 1/100 dV/dt (2)
4. Por um buraco circular de área A0, no fundo de um tanque, sai água. Devido à fricção e à contração próximo ao buraco, o fluxo de água, por segundo, se reduz a cA02gh, donde 0 < c < 1. Deduza uma equação diferencial que expresse a altura h da água em qualquer momento t, no tanque cúbico da figura. O raio do buraco é de 2 polg. e g = 32 pés/s2. buraco circular Aw h 10 Seja: V: volume do tanque Aw: base quadrada do tanque l = 10: aresta do cubo h: altura da água no tempo t De tal modo que: V = 100 h (1) Derivando, em relação ao tempo t, ambos os membros da equação (1), se acha a relação entre as razões de troca do volume e a altura do tanque. dV/dt = 100 dh/dt  dh/dt = 1/100 dV/dt (2)

6 Porém dV/dt = cA02gh = c(r2)2(32)h = c[(2 polg)2]64h, dV/dt = c[(1/6 pie)2]8h = c1/36 x 8h = 2/9c h (3) Substituindo (3) em (2), se obtem: dh/dt = 1/100 x 2/9 x c h  dh/dt = c/450 x h Como a altura está diminuindo quando a razão da troca é negativa. Assim: dh/dt = - c/450 x h

7 5. Na teoría da aprendizagem, se supõe que a rapidez com que se memoriza algum tema é proporcional a quantidade que continua a ser memorizado. Suponha que M representa a quantidade total de um tema que se deve memorizar e que A(t) é a quantidade memorizada em um tempo t qualquer. Deduza uma equação diferencial para determinar a quantidade A(t). Seja: A(t): quantidade de tema memorizado no tempo t. M: quantidade total do tema que se deve memorizar M – A(t): quantidade do tema que falta ser memorizado dA/dt: rapidez com que se memoriza k > 0: constante de proporcionalidade De tal modo que: dA/dt = k(M – A)

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