Parte D Inversão de dados

Apresentação em tema: "Parte D Inversão de dados"— Transcrição da apresentação:

1 Parte D Inversão de dados
Sumário: Inversão 1-D e 2-D ER e TEM

2 Formulação do problema inverso
Método de Inversão DADOS do PARÂMETROS mest d = g(m) MODELO 1-D; 2-D; 3-D Espaço dos dados Espaço dos parâmetros

3 Dados: Seja do o vector contendo os valores observados (valores medidos ou calculados a partir de valores medidos usando-se expressões algébricas). No caso específico dos métodos EM esses valores são, geralmente, os valores de resistividade aparente e/ou fases calculados para diferentes configurações geométricas do conjunto emissor-receptor e/ou para diferentes frequências. Cada elemento de do pode ser descrito como o valor aproximado do verdadeiro valor da grandeza a medir d, ao qual não se tem acesso, possuindo-se uma estimativa do erro da medida, tal que d (do, d ) < d com a condição do  d quando d  0 d representa uma distância (métrica) definida no espaço dos dados

4 Parâmetros do modelo: Seja mest o vector dos parâmetros do modelo adoptado para a interpretação dos dados. No caso dos métodos EM o vector mest corresponde a valores de resistividade (ou condutividade) eléctrica e, em alguns modelos, a profundidades (localização) de interfaces que separam meios com propriedades geoeléctricas distintas. No problema inverso o vector mest é o vector das incógnitas e a resolução do problema inverso deverá permitir conhecer os elementos deste vector. De acordo com os métodos adoptados neste curso, para a resolução do problema inverso, os valores de mest representam uma estimativa dos verdadeiros valores dos parâmetros m, isto é, m(mest, m ) < m com a condição mest  m quando m  0 m representa uma distância (métrica) definida no espaço dos parâmetros

5 Modelo: relações matemáticas entre parâmetros e dados: d = g (m) Tipo de PI: Linear Não Linear sobre-determinado subdeterminado Métodos: Optimização local Optimização global

6 O problema inverso consiste, então, na determinação de mest cumprindo duas condições necessárias:
1) os valores da resposta do modelo dc = g (mest), devem ser compatíveis com os dados do, isto é, d (do, dc ) <  2) deve ser possível estimar os erros do modelo calculado, isto é, deve ser possível determinar os limites de validade do modelo calculado as duas condições enumeradas são necessárias mas não são suficientes. Uma terceira condição deverá ser imposta, a saber: 3) o modelo calculado deve ser interpretável em termos geológicos, devendo estar de acordo com a informação disponível

7 Algumas lembranças: A resolução do PI deve levar em atenção a informação contida nos dados que depende: da qualidade dos dados (erros) do desenho da aquisição e resolução do método dos problemas de equivalência Deve-se evitar: a sobre-parametrização o sobre-ajustamento (“over-fitting”) dos dados

8 Método minimização local
Problema Linear: g(m) = d - A m = d Problema sobre-determinado (N > M) Método dos mínimos quadrados Definir a função objectivo a minimizar Q = || do – g(mest) ||2 Minimizar Q = || do – A m ||2 ; Constituir o sistema: AT A mest = AT do Solução do sistema: mest = (AT A)-1 AT do

9 Exemplo: ajuste de uma recta: y= a + b x
Dados: y1, y2, y3, y4, y5 Q =|| y – (a+bx)||2

10 Método minimização local
Inversão 1-D “conhecido o vector de dados do(d1,…,dN), deve determinar-se o vector de parâmetros mest(m1,…,mM) que, de acordo com o modelo dc = g (mest), cumpre a condição d(do, dc)<  “. Seja um problema não linear; Método iterativo Problema sobre-determinado (N > M) que pode ser resolvido usando mínimos quadrados Função objectivo:  = d = || do - g(mest) ||2 a minimizar

11 Na iteração (k+1) mk+1 = mk + m Lineariza-se o problema (desenvol. Taylor). Tem-se na iteração k+1: g(mk+1) = g(mk) + J(mk) m + R (mk, m) Jij = gi / mj d = || do - g(mest) ||2 = || do - g(mk) + J(mk) m ||2 Minimização:

12 A solução será: [ J(mk)T J(mk) ] m = J(mk)T (do - g(mk) ) m = S-g (do - g(mk ) ) S-g = [ J(mk)T J(mk)]-1 J(mk)T Inversa generalizada:

13 J = U  VT JTJ JJT S-g = V -1 UT m = V -1 UT (d - g(mk ) )
A resolução do sistema de equações pode ser feita através da SVD J = U  VT JTJ JJT S-g = V -1 UT m = V -1 UT (d - g(mk ) ) Levenberg-Marquardt m = ∑ (i / (2i +2) βi Vi β = UT (d - g(mk ))

14 Este algoritmo corresponde a minimizar a função objectivo:
 = || d - g(m) ||2 + 2 ||m||2

15 Métodos de regularização (Tikhonov/Occam)
“...encontrar uma solução que minimize a norma euclidiana || L m ||2 cumprindo o constrangimento ||g(m) – d ||2 “. L é uma matriz conhecida como matriz de regularização (ou suavização).  = || d - g(m) ||2 + 2 ||Lm||2

16 mk+1 = mk + m = (J(mk)T J(mk) + 2 LT L)-1 J(mk) T d(mk)
d = d - g(mk) + J(mk) mk Curva L || d - g(m) || versus ||Lm||

17 1) minimiza a norma L2 2) minimiza a rugosidade 3) minimiza a variação total dos parâmetros

18 Métodos LCI (Laterally Constrained 1D Inversion)
Problemas com o método Tikhonov/Occam: Modelos com anomalias difusas; Em meios estratificados as interfaces mais profundas são mal resolvidas Problemas com os modelos 1-D: - Quando colocados lado a lado para formar uma imagem 2D, há variações bruscas originadas por interferências laterais ou ambiguidades devido ao corte geoeléctrico.

19 O método LCI tenta resolver alguns destes problemas.
(de Auken et al. 2000)

20 δm = [ G’T C’-1 G’ ]-1 [ G’T C’-1 δd’
G’ = [J, P, R ]T d’ = [δdo, δmpriori, δr ]T J – Matriz das derivadas P –Matriz da informação à priori R – Matriz de suavização

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23 LCI com constrangimentos 2D
(de Monteiro Santos e Trianatafilis 2010)

24 Métodos de minimização global
O que são; Quando se usam; Vantagens em relação aos métodos de minimização local; Desvantagens;

25 Mimetiza o processo de têmpera do metal
“Simulated annealing (SA)” Mimetiza o processo de têmpera do metal Função objectivo (energia):  Ciclo externo modelo m ; (m) ciclo interno gera modelo mp (mp); Δ  = (mp)- (m); teste: Δ  > 0 (Metropolis) Δ  < 0 (aceita, m=mp) fim cI T=T*0.9 Fim cE P = exp((-)/T) Gera r aleatório r[0,1] P > r (aceita, m=mp) P< r (regeita modelo)

26 Tk = α Tk-1 O esquema de “arrefecimento”
Variação de T em três algoritmos SA. No esquema TimberWolf α aumenta inicialmente de 0.8 a 0.95 e depois diminui gradualmente. Tk = α Tk-1

27 P(m) é a densidade de probabilidade a posterior,
m P(m) C = (m - <m>) (m - <m>)T P(m) P(m) é a densidade de probabilidade a posterior, P(m)  exp ((m))

28 Particle Swarm Optimization (PSO)
c1 = 1.3, c2 = 2.0 e c3 = 0.05

29 imaging The S-inversion The flux in the receiver is:
The conductance is:

30 V in the receiver is: These two equations can be used to calculate S and d Differentiating (numerically) the S curve one obtain conductivity in function of depth.

31 Equivalência em modelos 1-d
Equivalências em ER: em S: em T:

32 Avaliação dos parâmetros
Valores extremos Equivalência Resolução

33 Valores extremos Elipse de confiança. A e B são os pontos extremos na direcção a. m1min e m1max são os valores extremos do parâmetro m m0 representa o ponto óptimo (menor valor da função objectivo).

34 Análise da matriz V

35 Equivalência em modelos 2-D
(de Muñoz 2005)

36 (de Muñoz 2005)

37 Aplicação a um modelo MT
Aplicação a um modelo MT. a) modelo inicial obtido da inversão dos dados; b) Modelo de teste com modificação manual da anomalia C; c) Modelo obtido projectando a diferença entre a e b no espaço nulo; d) Modelo de teste em que se eliminou a anomalia C; e) modelo obtido da projecção da diferença entre d e a no espaço nulo (de Muñoz 2005).

38 Matriz Resolução dos parâmetros
R = S-g J mc = (mc)k + δm = (mc)k + S-g (d – g(mk)) d = g(mv) = g(mc)k + J (mv – (mc)k) mc = (mc)k + S-g [J (mv-(mc)k )] = (mc)k + S-g J mv- S-g J (mc)k = R mv + (I – R) (mc)k diag [R]

39 Sensibilidade

40 VOI ( volume of investigation index)
Mapas de VOI para duas profundidades de um modelo 3-D. A tracejado estão representados os valores iguais a 0.2 (de Monteiro Santos et al. 2008).