Experimentos Fatoriais 2k

Apresentação em tema: "Experimentos Fatoriais 2k"— Transcrição da apresentação:

0 ME623A Planejamento e Pesquisa

1 Experimentos Fatoriais 2k
Experimentos com k fatores e cada fator tem apenas dois níveis Caso especial dos experimentos fatoriais com k fatores Os fatores podem ser: Quantitativos: dois valores de temperatura, pressão ou tempo Qualitativos: níveis “alto” e “baixo”, presença e ausência de um fator, duas máquinas, dois operadores, gênero Um replicação completa requer: 2 x 2 x 2 x … x 2 = 2k observações

2 Experimentos Fatoriais 2k
Os fatoriais 2k são muito úteis no primeiros estágios da experimentação, quando muitos fatores podem ser de interesse (screening) Permite testar k fatores num fatorial completo com o menor número de rodadas Assume-se que a resposta é aproximadamente linear entre os dois níveis Continuaremos assumindo que: os fatores são fixos o experimento é completamente aleatorizado as suposições de normalidade são satisfeitas

3 Experimentos Fatoriais 22
Caso mais simples do experimentos fatoriais 2k Temos dois fatores (k=2) com 2 níveis cada Cada replicação completa do experimento requer 22=4 observações, ou seja, 4 tratamentos Os níveis dos fatores são denominados: baixo (−) e alto (+) Fator Representação A B Tratamento do Tratamento Observação − A−B− (1) y11k + A+B− a y21k A−B+ b y12k A+B+ ab y22k

4 Fatoriais 22 - Representação Geométrica
Os quatro tratamentos podem ser representados da seguinte forma: Fator A B Tratamento − (1) + a b ab

5 Fatoriais 22 - Exemplo Pipoca de Microondas
Problema: grãos que sobram sem estourar

6 Exemplo – Pipoca no Microondas
Possíveis fatores que influenciam na quantidade de grãos que sobra sem estourar Marca da pipoca Tempo no microondas Potência … Vamos selecionar dois fatores com dois níveis cada: Marca da pipoca (1 e 2) Tempo no microondas (4 e 6 minutos) Variável resposta: peso (g) dos grãos sem estourar Repetiremos o experimento 3 vezes (replicação)

7 Exemplo – Pipoca Existem 4 tratamentos e 3 replicações, resultando num total de 12 observações As 12 rodadas foram executadas em ordem completamente aleatória Os dados estão na tabela abaixo Fator Replicação Marca (A) Tempo (B) Tratamento I II III Total − (1) 28 25 27 80 + a 36 32 100 b 18 19 23 60 ab 31 30 29 90

8 Exemplo – Pipoca O modelo linear para esse experimento ainda pode ser escrito da forma usual: E as SS podem ser calculadas como antes No entanto, veremos um maneira alternativa de calcular as SS para esse tipo particular de modelo Na notação usada aqui, letras maiúsculas denotam os fatores (A e B) e as letras minúsculas denotam os tratamentos (a, b, ab)

9 Efeitos Principais e Interação
No desenho fatorial 22 podemos definir o efeito médio de um fator como a mudança na resposta produzido pela mudança no nível do fator, tirando a média sobre os outros níveis do outro fator.

10 Efeitos Principais e Interação
No desenho fatorial 22 podemos definir o efeito médio de um fator como a mudança na resposta produzido pela mudança no nível do fator, tirando a média sobre os outros níveis do outro fator. O efeito de A no nível baixo de B é O efeito de A no nível alto de B é

11 Efeitos Principais e Interação
O efeito médio da interação AB é a diferença média entre o efeito de A no nível alto de B e o efeito de A no nível baixo de B

12 Efeitos Principais e Interação

13 Efeitos Principais e Interação

14 Exemplo - Pipoca Calculamos os efeitos principais e a interação no exemplo da pipoca Examinar a magnitude e direção dos efeitos para determinar quais variáveis são importantes

15 Exemplo - Pipoca Calculamos os efeitos principais e a interação no exemplo da pipoca A = 8.33, B = -5, AB = 1.67 O efeito de A é positivo: aumentar A de “baixo” para “alto” aumenta o peso dos graus sem estourar O contrário para B A interação parece ser pequena em relação aos efeitos principais

16 Fatoriais 22 – Análise de Variância
Apesar que na maioria das vezes utilizaremos um software para fazer essa análise, aprenderemos alguns truques para fazer os cálculos manualmente O contraste usado para estimar o efeito de A é: Esse contraste é chamado de efeito total de A Similarmente, temos os contrastes para B e AB: Note que esses contrastes são ortogonais Lembram como calcular a SS de contrates?

17 Fatoriais 22 – Análise de Variância
A SS dos contrastes é dada por: Dessa forma, no exemplo da pipoca temos:

18 Fatoriais 22 – Análise de Variância
É conveniente escrever a seguinte tabela: Por exemplo, para estimar o efeito de A, o contraste é: Efeito Fatorial Tratamento I A B AB (1) + − a b ab

19 Fatoriais 22 – Análise de Variância
A SST é calculada da mesma forma que antes: E a SSE é calculada pela subtração: No exemplo da pipoca

20 Exemplo – Pipoca Tabela ANOVA:
Ambos efeitos principais (marca da pipoca e tempo no microondas) são significantes, isto é, influenciam na quantidade de grãos que ficam sem estourar E a interação?

21 Exemplo – Pipoca Interação AB não é significante

22 Regressão Em um experimento fatorial 22, é fácil expressar os resultados em um modelo de regressão Para o exemplo da pipoca temos Onde x1 é representa o fator 1, assumindo -1 ou 1 e x2 representa o fator 2, também assumindo -1 ou 1

23 Regressão Em um experimento fatorial 22, é fácil expressar os resultados em um modelo de regressão Para o exemplo da pipoca temos Lembrando que A = Marca da pipoca (1 e 2) B = Tempo no microondas (4 e 6 minutos)

24 Regressão Em um experimento fatorial 22, é fácil expressar os resultados em um modelo de regressão Para o exemplo da pipoca temos Temos as relações

25 Regressão Em um experimento fatorial 22, é fácil expressar os resultados em um modelo de regressão Para o exemplo da pipoca temos No exemplo da Pipoca

26 Regressão A regressão ajustada é então
Onde o intercepto é a média geral

27 Fatoriais 23 Experimentos com 3 fatores e 2 níveis cada
2 x 2 x 2 = 23 = 8 tratamentos Representação geométrica

28 Fatoriais 23 Tabela dos sinais para calcular os efeitos
Efeito Fatorial Tratamento I A B AB C AC BC ABC (1) + − a b ab c ac bc abc

29 Fatoriais 23 Cálculo dos efeitos principais:

30 Fatoriais 23 Cálculo das interações de 1ª ordem (dois a dois):
E a interacão ABC:

31 Fatoriais 23

32 Fatoriais 23 – Exemplo 6.1 do livro
Os dados estão na tabela abaixo Fator Replicação A B C I II Tratamento − 550 604 (1) = 1154 + 669 650 a = 1319 633 601 b = 1234 642 635 ab = 1277 1037 1052 c = 2089 749 868 ac = 1617 1075 1063 bc = 2138 729 860 abc = 1589

33 Exemplo 6.1 Visualização dos dados no cubo:
bc = 2138 abc = 1589 Exercício: Calcular todos os efeitos, as SS e obter a tabela ANOVA para esse exemplo c = 2089 ac = 1617 b = 1234 ab = 1277 Fator B (1) = 1154 a = 1319