Algumas Aplicações das Funções Exponenciais

Apresentação em tema: "Algumas Aplicações das Funções Exponenciais"— Transcrição da apresentação:

1 Algumas Aplicações das Funções Exponenciais
Geradas por fatores de aumento Geradas por fatores de redução

2 1) Função Exponencial gerada por fatores de aumento fixos
Sempre que uma série de valores varia sob uma taxa percentual fixa de aumento, a variável em questão gera uma função exponencial crescente. Exemplo 1: Vamos supor que uma pessoa tenha tomado emprestado uma quantia de R$ ,00 e que a dívida é corrigida, mês a mês, em 5% sobre o montante do mês anterior. É claro que se a pessoa liquidar a dívida um mês após a sua contratação, o montante devido será de (5% de ), que é igual a reais. Esse mesmo resultado poderia ser obtido simplesmente multiplicando por 1,05 (100% + 5%). Se a pessoa pagar a dívida 2 meses depois de sua contratação, o montante devido será de (5% de ), que é igual a Esse mesmo resultado poderia ser obtido simplesmente multiplicando por 1,052. Podemos generalizar e dizer que o montante M, dessa dívida, n meses após a sua contratação, será igual a M = x 1,05n. O 1,05 é chamado de fator de aumento para uma taxa de 5%.

3 A função que fica caracterizada nesses casos é o que denominamos função exponencial. Quando a base for superior a 1, teremos uma função crescente, como no caso do nosso exemplo. O gráfico dessa função terá a seguinte configuração: a) Qual seria o valor aproximado da dívida, 10 meses após a sua contratação? Resposta: R$ ,00 b) Após quantos meses a dívida atinge um montante de R$ ,00? Resposta: Após 30 meses c) Qual o montante de dívida após dois anos de sua contratação? Resposta: x (1,05)24 = R$ ,00

4 Exemplo 2: Vamos imaginar agora que uma cidade tinha uma população de habitantes e que, a partir de um determinado ano, ela passou a crescer (vertiginosamente) na base de 12% ao ano. Como no exemplo anterior, a função que permite calcular a população n anos após o momento inicial será dada pela sentença: P = x 1,12n. O gráfico dessa função exponencial crescente terá a seguinte configuração: a) Qual seria o valor aproximado da população, 10 anos após o momento inicial? Resposta: habitantes b) Após quantos anos a população terá atingido habitantes. Resposta: Após 20 anos c) Qual a população aproximada, após 12 anos? Resposta: x (1,12)12 = habitantes

5 2) Função Exponencial gerada por fatores de redução fixos
Sempre que uma série de valores varia sob uma taxa percentual fixa de redução (ou depreciação), a variável em questão gera uma função exponencial decrescente. Exemplo 1: Vamos supor agora uma máquina, com valor inicial de R$ ,00 e que se deprecia sob taxa fixa de 15% ao ano. Um ano depois a máquina estará valendo – (15% de ) = Isso é o mesmo que calcular x 0,85 (100 % - 15%). Dois anos depois a máquina estará valendo – (15% de ) = Isso é o mesmo que calcular x 0,85 ou x (0,852). Podemos generalizar e dizer que o valor V, dessa máquina, n anos após a data inicial, será igual a V = x 0,85n. O 0,85 é chamado de fator de redução ou depreciação para uma taxa de 15%.

6 A função exponencial para tais casos, com base menor do que 1 (e maior que zero) será uma função decrescente, como no caso do nosso exemplo. O gráfico dessa função terá a seguinte configuração: a) Qual seria o valor aproximado da máquina, 3 anos após o momento inicial? Resposta: R$ ,00 b) Após quantos anos a máquina estará valendo R$ ,00? Resposta: Após 9 anos c) Qual o valor aproximado da máquina, após 10 anos da compra? Resposta: x (0,85)10 = R$ ,00

7 E quando precisamos calcular o expoente?
Para isso existem os logaritmos ! Vejamos um exemplo simples, para relembrar: Sabemos que 26 = 64. Isso equivale a dizer que 6 é o logaritmo de 64 na base 2 ou Acontece que nem sempre a coisa é tão simples. No nosso exemplo foi fácil pois 64 é uma potência de 2 e o resultado foi um número inteiro. Mas o que podemos fazer quando isso não ocorre (o que é o mais comum). Uma das formas usadas (que já quase não se usa mais) é consultar uma tabela denominada tábua de logaritmos. Atualmente consultamos as calculadoras científicas. Mas como normalmente as máquinas não apresentam todas as bases (apresentam os logaritmos decimais – base 10), usamos uma fórmula para mudança de bases. A fórmula para a mudança de bases é a seguinte:

8 Qual a vantagem do que acabamos de aprender (ou lembrar)....?
IMPORTANTE ! Se a nova base for a base 10 (k = 10), fica convencionado que ela não precisa ser escrita e a nossa fórmula ficaria assim: Se voltarmos ao nosso exemplo inicial, só para confirmação da fórmula, teríamos: Qual a vantagem do que acabamos de aprender (ou lembrar)....? É que agora podemos voltar aos problemas que recaem em função exponencial e determinar o valor do expoente, quando for necessário. Vejamos um exemplo:

9 SOLUÇÃO: RESPOSTA: Exemplo:
A população de um certo país está crescendo sob taxa fixa de 2% ao ano. Se há alguns anos essa população era de de habitantes e hoje ela é de aproximadamente habitantes, determine o número de anos que foram decorridos para esse crescimento. SOLUÇÃO: Pelo que já estudamos antes, sabemos que o fator de aumento, para esse caso, será igual a 1,02, concorda? Assim sendo, temos que resolver a seguinte equação exponencial: Aplicando log RESPOSTA: A população do país cresceu de de habitantes para habitantes em, aproximadamente, 10 anos.

10 SOLUÇÃO: RESPOSTA: Um segundo exemplo:
Um veículo, comprado por R$ ,00, sofre uma desvalorização fixa de 10% ao ano. Após quantos anos, aproximadamente, ele estará valendo R$ ,36 SOLUÇÃO: Pelo que já estudamos antes, sabemos que o fator de redução, para esse caso, será igual a 0,9, lembra? Assim sendo, temos que resolver a seguinte equação exponencial: Aplicando log RESPOSTA: O veículo, comprado por R$ ,00 e que se desvaloriza 10% ao ano, estará valendo R$ ,36, após 8 anos de uso.

11 Voltando agora ao exemplo anterior, da máquina que desvalorizava 15% ao ano e que tinha o valor inicial de R$ ,00. Quanto tempo levaria para ela ficar valendo R$ ,14? Resposta: 18 anos 12875,14 ?