A sorte dos problemas de construção no contexto francês do ensino de

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1 A sorte dos problemas de construção no contexto francês do ensino de
Problemas de construção em um ambiente informatizado Cabri-geométrico II - Uma seqüência de ensino A sorte dos problemas de construção no contexto francês do ensino de transformações geométricas, no ensino médio nos anos de 1990 Um estudo didático em classe de 1a. Série do ensino médio com uma abordagem dos aspectos funcionais utilizando Cabri-geométrico II.

2 Plano de exposição - Estudo de transformações geométricas
Problemas de construções em ambiente informatizado Cabri-geométrico II- Uma seqüência de ensino Plano de exposição - Estudo de transformações geométricas O Cabri como ferramenta - Problemática e apresentação da experimentação - Análises e conclusões de uma atividade

3 Uma breve exposição sobre o estudo de transformações geométricas
Transformações sobre figuras (Collège- 1998) Simetria axial - 5a. Série Simetria central -6a. série Translação - 7a. série Rotação -7a. série

4 Uma breve exposição sobre o estudo de transformações geométricas
Transformações do plano no plano Abordagem a partir da 1a. série do ensino médio 2a. Série 3a. Série

5 O Cabri-geométrico II como ferramenta
As construções geométricas no ambiente Cabri - As construções elementares * disponíveis no menu e de 2 tipos : Primitivas do desenho puro Criados a partir de pontos de base Ponto, reta, semi-reta, círculo etc. Primitivas geométricas Elas são concebidas segundo uma propriedade geométrica Retas paralelas, mediatriz, ponto médio etc.

6 O Cabri-geométrico II como ferramenta
“O programa Cabri-geométrico foi concebido com a idéia que a passagem pelas primitivas geométricas deveria favorisar os conhecimentos geométricos” (Laborde e Capponi ; 1994) A solução de um problema de construção no Cabri é um “Cabri-desenho”. “Cabri-desenho” constitui um elemento do domínio do espaço gráfico mas de natureza teórica. - com a manipulação direta do desenho, Cabri oferece uma dimensão experimental

7 O Cabri-geométrico II como ferramenta
Validação de uma solução com Cabri : Deslocamento : o Cabri-desenho se deforma conservando as propriedades geométricas que permitiram a construção e aquelas que derivam numa geometria euclidiana. (Laborde e Capponi ; 1995) Validação por manipulação direta

8 O Cabri-geométrico II como ferramenta
Com a experimentação quisemos explorar : O papel possível de PCf - transformações para contribuir ao vínculo entre aspecto global e pontual de transformações pela tomada em conta da técnica “abandono de uma condição”. Porque Cabri-geométrico II -.Experimentação gráfica - Estatuto atribuído aos objetos - Deslocamento como fonte de retroação ; validação, discussão da solução - O conjunto de construções de base disponível no menu. - A manipulação direta do desenho. - A não possibilidade de interseção de um objeto « Objeto » Cabri com « Lieu » Cabri (este último como obstáculo positivo para provocar a pesquisa da transformação ferramenta)

9 Elementos da problemática
Questões que guiaram a observação : - Como o “ Lieu”(lugar) contribui para a identificação pelos alunos de uma transformação para achar a solução ? - Como esta transformação intervém nas diferentes etapas da solução proposta pelos alunos : de que maneira o jogo pontual - global se coloca na concorrência com a ferramenta configuração ? - Como as retroações do meio (milieu) fazem ou não evoluir a resolução do problema ?

10 A seqüência de ensino Três sessões:
Seção 1: Construção e retomada das ferramentas Cabri. Seção 2 : Introdução da técnica “Abandono de uma condição” Seção 3 : Colocar em teste a técnica “Abandono de uma condição”

11 Atividade 1 : O paralelogramo e seu centro
A seqüência de ensino Seção 1 Atividade 1 : O paralelogramo e seu centro Colégio .... Alunos : .... 1. Abrir Cabri e depois a figura EX1a.fig no dossier [ ] no dossié da vossa classe. Lançar o registro da sessão em marcando a opção “Save dragging” com um nome constituído de vossas iniciais seguidos de C1 : (exemplo FMC1 para François Martin) 2. Seja um círculo (C), um triângulo (IJK) e um point G Construir um paralelogramo PQRS de centro G, tal que o vértice P esteja sobre o círculo (C) e o vértice Q esteja sobre o triângulo (IJK).

12 O paralelogramo e seu centro
3. Verificar que a construção é correta. 4. Registrar, com vosso código seguido C1b. (Exemplo FMC1b) 5. Quais propriedades geométricas permitem justificar vossa construção ? 6. Onde se desloca (desliza) o ponto R quando a gente desloca o ponto P sobre o círculo ? 7. Onde se desloca o ponto S quando a gente desloca o ponto Q sobre o triângulo ? 8. Deslocar os objetos do desenho e estudar se vossa construção dá sempre um paralelogramo. Dê vossa conclusão.

13 2. Situação 2: os pontos M e N e o ponto médio
Seja (C) um círculo e (d) uma reta tais que o círculo e a reta não se interceptam. Seja A um ponto que não pertence ao círculo nem à reta (d). Procuramos construir um ponto M de (C) e um ponto N de (d) tais que A seja o ponto médio de [MN]. Abrir a figura EX2a. Fig no dossier de vossa classe. 1. Quais são os objetos geométricos dados no enunciado ? 2. Quais são os objetos à construir ? 3. Quais são as condições impostas sobre os objetos à construir ? Tente resolver o problema. 4. Validar a construção (por deslocamento) 5. Registrar sob

14 Situação 2 : (Retomada) os pontos M e N e o ponto médio
Seja (C) um círculo e (d) uma reta tal que o círculo e a reta não se cortam. Seja A um ponto que não pertence ao círculo (C) e nem à reta (d). A gente procura construir um ponto M de (C) e um ponto N de (d) tais que A seja o ponto médio de [MN]. Abrir a figura Ex2a.fig no dossiê de vossa classe 1. Quais são os objetos geométricos dados no enunciado ? 2. Quais são os objetos à construir ? 3. Quais são as condições impostas sobre os objetos à construir ? Tente resolver o problema. 4. Validar a construção (por deslocamento) 5. Registrar sob

15 Sessão 2: Introdução da técnica TAC
Atividade 2. TAC - os pontos M e N e o ponto médio Seja (C) um círculo e (d) uma reta tal que o círculo e a reta não se cortam. Seja A um ponto que não pertence ao círculo (C) e nem à reta (d). A gente procura construir um ponto M de (C) e um ponto N de (d) tais que A seja o ponto médio de [MN]. Considerar um ponto M sobre o circunferência de (C) e abandonar a condição que o outro ponto N seja sobre a reta (d).

16 Introdução da técnica TAC
1. Seja M1 um ponto sobre a circunferência (C). Construir um ponto N1 tal que A seja o ponto médio de [M1N1 ]. Quando a gente desloca o ponto M1 sobre a circunferência (C), onde se desloca o ponto N1. Justifique sua resposta (quais são as propriedades matemáticas que permitem de a justificar?) 2. Você identificou sobre a figura os pontos sobre a reta (d) que são candidatos a serem o ponto N, ponto da solução do problema colocado no começo ? Deslocar M sobre a circunferência para determinar estes candidatos. 3. Qual é o número de pontos possíveis ? Justifique sua resposta. 4. Termine a construção e verifique se ela é correta. 5. Esta construção é sempre possível ? Sim ? Não ? Porque ? 6. Responda as questões seguintes : Qual é a transformação que você utilizou para resolver o problema ? O que te conduziu a pensar nesta transformação ?

17 Introdução da técnica TAC
Tarefa 2. Considerar o ponto N sobre a reta (d) e abandonar a condição que o ponto M seja sobre a circunferência. 1. Seja N1 um ponto sobre a reta (d). Construir um ponto M1 tal que o ponto A seja o ponto médio [ M1N1] 2. Quando a gente desloca N1 sobre a reta (d), onde de desloca o ponto M1 ? 3. Existe um só ponto M e um só ponto N tal que os pontos M e N satisfazem as condições do problema ? 4. Termine a construção. Registre sob **C2c. 5. A construção é sempre possível ? 6. As duas estratégias dão os mesmos pontos M e N ? Justifique após ter eventualmente refeito a construção das duas maneiras.

18 Construir um paralelogramo PQRS tal que os pontos R e S pertencem à
Seção 3 . Situação 3: O paralelogramo e seus vértices sobre uma circunferência Dado um círculo (C) e dois pontos P e Q que não pertencem à circunferência de (C). Construir um paralelogramo PQRS tal que os pontos R e S pertencem à circunferência de (C) . 1. Construir o paralelogramo 2. Validar a construção 3. Justificar sua construção 4. Dizer em que consiste segundo você, o método “Abandono de condição e utilização de uma transformação.

19 Análise a priori Questão : Seja um círculo (C), um triângulo (IJK) e um ponto G. Construir um paralelogramo PQRS de centro G, tal que o vértice P seja sobre a circunferência(C) e o vértice Q seja sobre o triângulo (IJK). 1. Configurações, transformações e ferramentas do Cabri : associações possíveis Tarefa : construir um paralelogramo com Cabri Dados: o círculo (C), o triângulo de vértices I, J e K e o ponto G Condições : - o ponto G dado é o centro do paralelogramo -o vértice P é sobre a circunferência de (C) - o vértice Q é sobre o triângulo (IJK)

20 Análise a priori RL: Transporte de medida ; C: círculo ; D: reta ; SC:Simetria central ; H: Homotetia

21 Estratégias de resolução
Análise a priori Estratégias de resolução Problema: Seja um círculo (C), um triângulo (IJK) e um ponto G. Construir um paralelogramo PQRS de centro G, tal que o vértice P seja sobre a circunferência (C) e o vértice Q seja sobre o triângulo (IJK). Ambigüidade do estatuto dos pontos P e Q : P e Q são vistos como pontos a colocar sobre os objetos dados ? Eles são ligados à G por construção? Ou, vê-se imediatamente que tudo de reduz à construção dos pontos R e S ?

22 Estratégias de resolução
Análise a priori Estratégias de resolução Estratégia de ataque 1 “por figura final” Consiste de construir os pontos P e Q visando o objeto de saída : o paralelogramo de centro G As diagonais (PR) e (GS) se interceptam em G. As condições : - os vértices pertencem as diagonais - P sobre a circunferência e Q sobre o triângulo - permitem determinar cada um dos vértices P e Q por intercecção de dois objetos.

23 Estratégias de resolução
Estratégia de ataque 2 ”por programa” A partir do dados fornecidos pelo enunciado - desenho de entrada e condições impostas pelo enunciado, pode produzir um início de um programa de construção - Colocar P sobre (C) e Q sobre o triângulo (IJK) O problema se reduz a construção dos vértices R e S ou dos lados do paralelogramo. Estas duas estratégias lembram (se aproximam) da técnica : Análise e Síntese. Estratégia 2, comporta a técnica T0 O texto do enunciado coloca em evidência uma condição global, dando o objeto final a construir , o que pode vir em favor da estratégia 1.

24 Estratégias de resolução
A construção dos pontos R e S Para construir R e S ou para terminar a construção do paralelogramo Estratégia de resolução “por configuração “ O ponto G é visto como ponto médio das diagonais. Se P e Q foram construídos pela estratégia 2, a tomada em conta de G como centro conduz a construção das diagonais (PG) e (QG). A construção de R como de S pode se fazer pela intersecção de curvas com a ferramenta Círculo e depois Pontos sobre dois objetos A construção também pode ser feita por Transporte de medida Criar (C’) de raio GP ; R = (C) (PG) O contorno do polígono pode ser realizado com a ferramenta Polígono ou Segmento

25 A construção dos pontos R e S
Estratégia de resolução por transformação Como G é o centro do paralelogramo, G é o centro de uma simetria central Construir R = s(P) e S = s(Q) ou Construir diretamente s (PQ ) =SR Homotetia de centro G e “rapport”-1

26 O deslocamento para validar ou invalidar a construção
Questão 3 - Verificar se a construção é correta Permite retomar a validação por deslocamento Tarefa: consiste de uma verificação pragmática ao nível do spatio-graphique. Consiste de deslocar os objetos e observar as mudanças da figura por apreensão perceptiva. Consiste de deslocar os objetos dados ou intermediários o Cabri-desenho construído se deforma, conservando as propriedades gráficas requeridas (paralelogramo com centro G, P e Q bem colocados) o que significa que a construção é geometricamente correta.

27 O deslocamento para validar ou invalidar a construção
No Cabri-desenho, produzido segundo as estratégias de ataque 1 ou 2, podemos deslocar sistematicamente : - O círculo (C), os pontos G, I, J e K, que têm grau de liberdade 2. - os pontos P e Q: se eles foram simplesmente colocados sobre (C), respectivamente sobre (IJK) (estratégia 2) eles tem grau de liberdade 2 - se P e Q foram construídos pela estratégia 1, eles têm grau de liberdade zero. - as retas passando por G tem grau de liberdade um

28 Elementos teóricos possíveis de serem utilizados :
A teoria utilizada Questão 5. Quais propriedades geométricas permitem justificar a sua construção? Esta questão visa provocar um retorno sobre a construção e uma reflexão sobre a ação realizada. Visa : extrair o teórico usado na construção Responder deverá permitir explicitar as propriedades utilizadas na resolução e de efetuar ( ir e vir) entre o teórico e o gráfico. Elementos teóricos possíveis de serem utilizados : - as diagonais du paralelogramo se cortam ao meio - a simetria central (homotetia) - o círculo como conjunto de pontos de igual distância do centro - o círculo para transportar medidas (lugar “indireto”)

29 O deslocamento para mobilizar Trace, Lugar e uma transformação
Questões 6 e 7 6. Onde se desloca (desliza) o ponto R quando a gente desloca o ponto P sobre a circunferência de (C) ? 7. Onde se desloca o ponto S quando a gente desloca o ponto Q sobre o triângulo (IJK)? Tarefa : é experimental ; solicita a manipulação direta dos objetos com a ajuda do maus. - Se os pontos P e Q foram construídos pelas diagonais com Ponto sobre dois objetos, eles têm grau de liberdade zero, a explicação deverá ser sobre amaneira como eles construíram, então a justificativa repousará sobre um conhecimento do logiciel. - ruptura do contrato - Se os pontos P e Q foram colocados por Ponto sobre um objeto, segundo a estratégia 2, eles têm um grau de liberdade um. (Eles podem ser deslocados sobre os objetos) Os pontos R e S que les correspondem descrevem cada um uma trajetória observável sobre a tela.

30 O deslocamento para mobilizar Trace, Lugar e uma transformação
As ferramentas Traço, Lugar, Simetria central, podem então serem procurados e manipulados par representar graficamente de maneira estável estas trajetórias. Trace - aspecto dinâmico ao fenômeno de geração de curvas. Lugar - aspecto estático das trajetórias de R e S O desenho obtido a partir do Traço e do Lugar, pode motivar o aluno, por apreensão perceptiva e operatória, a identificar a transformação geométrica sub-jacente. Pode levar a concepção de figura imagem e /ou utilizar a simetria central para dar a explicação solicitada.

31 O deslocamento para mobilizar Trace, Lugar e uma transformação
Identificamos 3 níveis (construção de P e Q segundo a estratégia 2) Identificação de uma curva -R se desloca com P e quando P se desloca sobre a circunferência (C), R se desloca também sobre uma circunferência ele presta conta do que observou ao nível “spatio-graphique” -Apreensão pontual de um lugar geométrico Como R é image de P por uma simetria de centro G, quando P se desloca sobre (C), R tem por lugar pontos de um outro círculo. (Idem para Q e S) - Tomada em conta de uma transformação com apreensão pontual / global Como P se desloca sobre um círculo, a imagem de P por simetria central de centro G, o ponto R, se desloca sobre o círculo image deste círculo.

32 Um outro papel : o deslocamento par estudar a existência de soluções
Questão 8 Deslocar os objetos do desenho e estudar se sua construção dá sempre um paralelogramo. Dê a sua conclusão. Tarefa: experimentação gráfica, solicita um comentário mas não necessariamente uma explicação. Consiste de verificar e de explicitar em que medida o Cabri-desenho depende ou não depende da posição dos objetos de entrada. Teoricamente, para toda escolha do círculo, triângulo e ponto G, o Cabri-desenho é possível é dá um paralelogramo (eventualmente aplati) Respostas possíveis: -”é um retângulo ou um quadrado, dependendo das posições de G, P e Q” -”Não é um paralelogramo se os pontos P, Q e G são alinhados” “o Cabri-desenho é sempre um paralelogramo, independentemente do deslocamento + caso particular pontos alinhados