Lógica Lógicas Clássicas Lógicas Não-Clássicas

Apresentação em tema: "Lógica Lógicas Clássicas Lógicas Não-Clássicas"— Transcrição da apresentação:

1 Lógica Lógicas Clássicas Lógicas Não-Clássicas
Prof. Dr. Jorge M. Barreto - UFSC-INE

2 Súmula Introdução e Histórico Lógicas Clássicas
Cálculo das Proposições Cálculo dos Predicados Sintaxe Semântica Regras de Inferência Árvore de Refutação Prova Automática de Teoremas Lógicas Não-Clássicas Lógica Modal, Lógicas Multivalores, Lógica Temporal

3 Introdução e Histórico
É dificil dar uma definição precisa de Lógica. “Logic is the systematic study of the structure of propositions and of the general conditions of valid inference by a method which abstracts from the content or matter of the propositions and deals only with their logical form” Encyclopaedia Brittanica Importância como teoria matemática. Adequada como método de representação de conhecimento. É SISTEMA FORMAL SIMPLES QUE APRESENTA UMA TEORIA SEMÂNTICA INTERESSANTE DO PONTO DE VISTA DA REPRESENTAÇÃO DO CONHECIMENTO. Ainda hoje grande parte da pesquisa em IA está ligada direta ou indiretamente à Lógica.

4 Introdução e Histórico
Longa história de mais de 23 séculos. Aristóteles, na Grécia Antiga, sistematizou e codificou os fundamentos da lógica. “Silogismo é um discurso no qual, tendo-se afirmado algumas coisas, algo além destas coisas se tornam necessariamente verdade”. Aristóteles, Primeira Analítica, Livro I, 24a Em 1847, George Boole propôs uma linguagem formal que permite a realização de inferências. Lógica Moderna ( 1879), Gottlob Frege publicou a 1a. versão do “Cálculo de Predicados”. Russel e o Positivismo - Lógica como base para todas as outras ciências. David Hilbert, Guiseppe Peano, Georg Cantor, Ernst Zermelo, Leopold Lowenheim e Thoralf Skolem.

5 Introdução e Histórico
Um sistema lógico como sistema formal, consiste em um conjunto de fórmulas e um conjunto de regras de inferência. As fórmulas são sentenças pertencentes a uma linguagem formal cuja sintaxe é dada. A parte de lógica que estuda os valores de verdade é chamada teoria de modelos. Uma regra de inferência é uma regra sintática que quando aplicada repetidamente a uma ou mais fórmulas verdadeiras gera apenas novas fórmulas verdadeiras. A seqüência de fórmulas geradas através da aplicação de regras de inferência sobre um conjunto de inicial de fórmulas é chamada de prova. A parte de lógica que estuda as provas é chamada teoria de provas.

6 Introdução e Histórico
Gödel e Herbrand na década de 30 mostraram que toda e qualquer fórmula verdadeira pode ser provada. Church e Turing em 1936 mostraram que não existe um método geral capaz de decidir, em um número finito de passos, se uma fórmula é verdadeira. Um dos primeiros aplicações da Lógica foi a Prova Automática de Teoremas, a partir da segunda metade da década de 60. A partir de Kowalsky (1973) lógica passou a ser estudada com método computacional para a solução de problemas. O método explora o fato de expressões lógicas poderem ser colocadas em formas canônicas (apenas com operadores “e”, “ou” e “não”).

7 Introdução e Histórico
Teoria da Resolução de Robinson Transforma a expressão a ser provada para a forma normal conjuntiva ou forma clausal. Existe uma regra de inferência única, chamada regra da resolução. Utiliza um algoritmo de casamento de padrões chamado algoritmo de unificação. Base para a Linguagem Prolog. Recentemente Lógicas Não-Padrão ou Não-Clássicas tem sido cada vez mais utilizadas, não somente em IA. Ex: Lógica Temporal tem sido utilizada em estudos de programas concorrentes. Em IA estas lógicas vem sendo usadas para tratamento de imprecisão, informações incompletas e evolução com o tempo em que evolui o problema tratado por IA.

8 Lógicas Clássicas Cálculo das Proposições
O Cálculo das Proposições se interessa pelas SENTENÇAS DECLARATIVAS, as PROPOSIÇÕES, que podem ser Verdadeiras ou Falsas. No âmbito da IA, a lógica permite a representação de conhecimento e o processo de raciocínio para um sistema inteligente. Como uma linguagem para representação de conhecimento no computador, ela deve ser definida em dois aspectos, A SINTAXE e a SEMÂNTICA. A SINTAXE de uma linguagem descreve as possíveis configurações que podem constituir sentenças. A SEMÂNTICA determina os fatos do mundo aos quais as senteças se referem., ou seja, ou sistema “acredita” na sentença correspondente.

9 Lógicas das Proposições
Sintaxe das Proposições <fórmula>::= <fórmula-atômica> | <fórmula-complexa> <fórmula-atômica>::= Verdadeiro | Falso | P | Q | R | ... <fórmula-complexa>::= (<fórmula>) | <fórmula> <conectivo> <fórmula > |  <fórmula> <conectivo>::=  |  |  |  Hoje é segunda ou terça-feira. Hoje não é terça-feira. Logo, Hoje é segunda-feira. S V T,  T  S

10 Cálculo das Proposições
Semântica do Cálculo das Proposições A semântica é definida especificando a interpretação dos símbolos da proposição e especificando o significado dos conectivos lógicos. Uma fórmula tem uma interpretação a qual define a semântica da linguagem. A interpretação pode ser considerada um mapeamento do conjunto das fórmulas para um conjunto de valores de verdade, que na Lógica dicotômica é o conjunto {verdadeiro,falso} ou {V,F}. P Q  P P  Q P V Q P  Q P  Q V F V F F V F V

11 Cálculo das Proposições
Tabelas Verdade Elas fornecem um teste rigoroso e completo para a validade ou invalidade de formas de argumento do cealculo das proposições. Quando existe um algoritmo que determina se as formas de argumento expressáveis em um sistema formal são válidas ou não, esse sistema é dito DECIDÍVEL. Desta forma, elas garantem a decidibilidade da lógica proposicional. Uma forma de argumento é válida sss todas as suas instâncias são válidas. Uma instância de argumento é válido se sua conclusão for verdade se suas premissas o forem. Se a forma for válida, então qualquer instância dela sera igualmente válida. Assim a Tabela-Verdade serve para estabelecer a validade de argumentos específicos.

12 Cálculo das Proposições
Tabelas Verdade para Formas de Argumento Tabelas-Verdade podem ser usadas, não apenas para definir a semântica do conectivos, mas também para testar a validade de sentenças. Exemplo: A Rainha ou a Princesa comparecerá à cerimônia. A Princesa não comparecerá. Logo, a Rainha comparecerá. R  P,  P  R P R  P P  R R V V F V V V F F V F F V V V V F F V F F

13 Cálculo das Proposições
Regras de Inferência Sejam as fórmulas f1, f2, ..., fn (n1) e C. Então, toda seqüência finita de fórmulas, consequencia de regras de inferência tem como conseqüência final C, chama-se PROVA. Um ARGUMENTO é uma seqüência de enunciados no qual um deles é a CONCLUSÃO e os demais são as PREMISSAS que servem para provar ou, pelo menos, fornecer algumas evidências para a conclusão. Evita o trabalho tedioso de ficar construindo Tabelas-Verdade.  |-  significa que  pode ser derivado de  através do processo de inferência, onde  e  são fórmulas bem formadas.

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Regras de Inferência REGRAS BÁSICAS

15 Cálculo das Proposições

16 Lógicas das Proposições

17 Cálculo das Proposições

18 Cálculo das Proposições

19 Cálculo das Proposições

20 Cálculo das Proposições

21 Cálculo das Proposições

22 Cálculo das Proposições
Regras de Inferência REGRAS DERIVADAS

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26 Cálculo das Proposições
Regras de Inferência, Exemplos: “Se há jogo na Ressacada, então viajar de avião é difícil.” “Se eles chegarem no horário no aeroporto, então a viagem de avião não será difícil.” “Eles, chegaram no horário.” “Logo, não houve jogo na Ressacada.”

27 Cálculo das Proposições
Equivalência É um bicondicional que é um teorema.

28 Cálculo das Proposições
Árvores de Refutação São uma outra maneira de garantir a decidibilidade da Lógica Proposicional. REGRAS PARA ÁRVORE DE REFUTAÇÃO 1. Inicia-se colocando-se as PREMISSAS e a NEGAÇÃO DA CONCLUSÃO. 2. Aplica-se repetidamente uma das regras a seguir: 2.1. Negação (): Se um ramo aberto contém uma fórmula e sua negação, coloca-se um “X” no final do ramo, de modo a representar um ramo fechado. (um ramo termina se ele se fecha ou se as fórmulas que ele contém são apenas fórmulas-atômicas ou suas negações, tal que mais nehuma regra se aplica às suas fórmulas. Desta forma tem-se um ramo fechado, que é indicado por um X, enquanto o ramo aberto não é representado por um X.)

29 Cálculo das Proposições
Árvores de Refutação 2.2. Negação Negada ( ): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma   Ø, tica-se   Ø e escreve-se Ø no final de cada ramo aberto que contém   Ø ticada. 2.3. Conjunção (): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma Ø  ß, tica-se, Øß e escreve-se Ø e ß no final de cada ramo aberto que contém Ø  ß ticada. 1. P  Q 2.    P 3. P 1  4. Q 1  5.  P 2   6. X 3  A árvore de refutação está COMPLETA, isto é, com todos os ramos fechados, logo, a busca de uma refutação para o argumento de negar a conclusão falhou, pois só encontrou contradições, e portanto, a FORMA É VÁLIDA. P  Q   P

30 Cálculo das Proposições
Árvores de Refutação 2.4. Conjunção Negada ( ): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma  (Øß), tica-se,  (Øß) e BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que contém  (Ø  ß) ticada, no final do primeiro ramo se esreve  Ø e no final do segundo ramo se escreve  ß.  (P  Q)  P   Q  (P  Q) 2.  ( P   Q)   3.  P (1  )  Q (1  ) 4.   P (2  )   Q (2  )   P (2  )   Q (2  ) X (3,4 ) Q (4 ) P (4 ) X (3,4 ) O exemplo acima nos mostra que há dois ramos abertos, conseqüentemente a fórmula é inválida, o que significa que estes ramos são contra-exemplos.

31 Cálculo das Proposições
Árvores de Refutação 2.5. Disjunção (v): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma Øvß, tica-se, Øvß e BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que contém Ø v ß ticada, no final do primeiro ramo se esreve Ø e no final do segundo ramo se escreve ß. P v Q, P  Q P v Q P   Q Q (3  )   P (1 v) Q (1 v) O exemplo acima nos mostra que há dois ramos abertos, conseqüentemente a fórmula é inválida, o que significa que estes ramos são contra-exemplos.

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Árvores de Refutação 2.6. Condicional (): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma Ø  ß, tica-se, Ø  ß e BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que contém Ø ß ticada, no final do primeiro ramo se esreve  Ø e no final do segundo ramo se escreve ß. P  Q, Q  R, P R P  Q Q  R P  R Como a árvore completa está fechada, a refutaçao enpreendida falha e a forma é válida.   5.  P (1  ) Q (1 v) 6. X (3,5  )  Q (2  )  R (2  ) X (5,7  ) X (4,7  )

33 Cálculo das Proposições
Árvores de Refutação 2.7. Disjunção Negada ( v): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma  (Øvß), tica-se,  (Øvß) e ESCREVE-SE  Ø e  ß no final de cada ramo aberto que contém  (Øvß) ticada. P  Q P v Q P  Q  (P v Q)  P (2  v)  Q (2  v)   5.  P (1  ) Q (1  ) X (4,5  ) O ramo aberto indica que a forma é inválida

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Árvores de Refutação 2.8. Condicional Negado ( ): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma (Øß), tica-se,  (Ø  ß) e ESCREVE-SE Ø e  ß no final de cada ramo aberto que contém  (Øß) ticada.  P   Q P  Q  P  Q  (P  Q) P (2   )  Q (2   )   5.    P (1  )  Q (1  ) P (5   ) Os ramos abertos indica que a forma é inválida

35 Cálculo das Proposições
Árvores de Refutação 2.9. Bicondicional (): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma Ø  ß, tica-se, Ø  ß e BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que contém Ø  ß ticada, no final do primeiro ramo se esreve Ø e ß e no final do segundo ramo se escreve  Ø e  ß. P  Q,  P  Q

36 Cálculo das Proposições
Árvores de Refutação 2.10. Bicondicional Negado ( ): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma  (Ø  ß), tica-se,  (Ø  ß) e BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que contém  (Ø  ß) ticada, no final do primeiro ramo se esreve Ø e ß e no final do segundo ramo se escreve  Ø e ß. P, P  Q P  Q As Tabelas-Verdade garantem a decidibilidade da lógica proposicional, porém elas são enfadonhas e ineficazes(NP-COMPLETAS) para um número muito grande de fórmulas-atômicas. Já as árvores de refutação fornecem um algoritmo mais eficaz para executar as mesmas tarefas.

37 Pucha! Ainda bem que acabou!