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CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA
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Aula 03 Funções polinomiais Logaritmo
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Funções Polinomiais Introdução: Polinômio Para a sucessão de termos comcom , um polinômio de grau n possui a seguinte forma : Ex :
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Funções Polinomiais Toda função definida como , tal que
Função polinomial de 1° grau: Toda função definida como , tal que com e O conjunto de pares ordenados formados numa função de primeiro grau organiza-se em forma de uma reta quando representados no plano cartesiano. Ex:
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Funções Polinomiais Função polinomial de 1° grau:
Se a > 0 então a função é estritamente crescente; Se a < 0 então a função é estritamente decrescente; Se a = 0 então a função é definida como função constante.
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Funções Polinomiais Função polinomial do 2° grau:
Defini-se como função polinomial de segundo grau, a função ,tal que , com a, b e c . Graficamente a função polinomial de segundo grau é representada por uma parábola, na qual o valor de ‘c’ indica o ponto em que a parábola intercepta o eixo das ordenadas. As raízes ou zeros da função indicam os pontos em que a parábola intercepta o das abscissas.
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Funções Polinomiais Função polinomial do 2° grau:
Se a> 0, a função decresce de até o “y do vértice” e depois cresce até + ao passo que x varia de até Se a<0, a função cresce de até o”y do vértice” e depois decresce até - ao passo que x varia de até
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Funções Polinomiais Função polinomial do 2° grau:
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Funções Polinomiais Função polinomial do 2° grau:
Vértice da Parábola: O vértice da parábola é o ponto de coordenadas: Se a > 0, então o vértice é o ponto máximo da mesma, se a < 0, então o vértice da parábola é o ponto de mínimo da mesma. Forma fatorada de um polinômio de grau n:
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Funções Polinomiais Forma fatorada de um polinômio:
Sendo X’ , X’’, X’’’ raízes da função. Ou seja, elementos em x que geram imagem nula.
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Funções Polinomiais Operações envolvendo polinômios:
Adição: p(x) + h(x) = (a+d)x² + (b+e)x + (c+f) Subtração: p(x) - h(x) = (a-d)x² + (b-e)x + (c-f) Multiplicação: p(x) . h(x) = (ax² + bx + c)(dx² + ex + f)
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Funções Polinomiais Operações envolvendo polinômios:
Divisão: Método das chaves Q(x).D(x) + R(x) = P(x)
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Logaritmo Definição: b = Antilogaritmo ou logaritmando a = base
c = logaritmo Condição de existência: ,
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Logaritmo Consequências:
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Logaritmo Propriedades:
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Logaritmo Propriedades:
Mudança de Base: Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente.
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Logaritmo A função logarítmica:
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Logaritmo O Logaritmo Neperiano ou Logaritmo Natural:
É o logaritmo cuja base é o n° de Euler “e” ( aproximadamente 2, ). Ou seja, corresponde à função inversa da função exponencial. É comumente utilizado como ferramenta matemática para modelar fenômenos que ocorrem na natureza. Notação:
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Exercícios -Polinômios
1)Sabendo-se que 3 é raiz de P(x)= x³ +4x²- ax +1, calcular o valor de a.
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Exercícios -Polinômios
1)Sabendo-se que -3 é raiz de P(x)= x³ +4x²- ax +1, calcular o valor de a. Resolução: Se -3 é raiz de P(x), então P(-3)=0. P(-3)=0 => (-3)³+4(-3)²-a.(-3)+1 = 0 3a = -10 => a=-10/3 Resposta: a=-10/3
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Exercícios -Polinômios
2) Calcular m para que o polinômio P(x)=(m²-1)x³ +(m+1)x² -x +4 seja: a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau
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Exercícios -Polinômios
Resposta: a) para o polinômio ser do 3º grau, o coeficiente de x³ deve ser diferente de zero. Então: m²-1≠0 => m² ≠ 1 => m ≠ 1 , m ≠ -1 Portanto, o polinômio é do 3º grau se m ≠ 1 e m ≠ -1. b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x³ deve ser igual a zero e o coeficiente de x² diferente de zero. Então: m²-1=0 => m²=1 => m=1 ou m= -1 m+1 ≠ 0 => m ≠ -1 Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1. c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser iguais a zero. Então: m²-1=0 => m²=1 => m=1 ou m=-1 m+1=0 => m=-1 Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.
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Exercícios -Polinômios
3)Num polinômio P(x), de 3º grau, o coeficiente de x³ é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).
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Exercícios -Polinômios
3) Resolução: Temos o polinômio: P(x)=x³+ax²+bx+c. Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes). Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema: P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1 P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8 P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3
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Exercícios -Polinômios
3) Resolvendo esse sistema encontramos as soluções: a=9, b=-34, c=24 Portanto o polinômio em questão é P(x)= x³+9x²-34x+24. O problema pede P(-1): P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)= P(-1)= 66 Resposta: P(-1)= 66
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Exercícios -Polinômios
4) O polinômio p(x) = x³ - x² - 14x + 24 é divisivel por : a)x+7 b)X c)x+2 d)x+4 e)x-4
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Exercícios -Polinômios
4) Como todo polinômio pode ser escrito da forma p(x) = a(x-x’)(x-x’’)(x-x’’’)... Sendo x’,x’’,x’’’ ..raízes do polinômio e que p(x’) = 0 Q(x).D(x) + R(x) = P(x) Basta verificar qual D(x) que gera R(x) = 0 Ou verificar qual o numero “a” do polinômio D(x) = (x – a) , que faz com que P(a) = 0
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Exercícios -Polinômios
4) Testando os valores vê-se que o polinômio p(x) = x³ - x² - 14x + 24 é divisível por D(x) = x+ 4. Visto que produz R(x) = 0 OU seja, P(-4) = 0 Resposta ) letra D
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Exercícios -Polinômios
5) Efetue a divisão entre os polinômios:
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Exercícios -Polinômios
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Exercícios –logaritmo
1) Determine o valor de log
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Exercícios –logaritmo
1) log = log1/432 Logo : ¼^x = 2^5 => 2^-2x = 2^5 X = -5/2
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Exercícios –logaritmo
2) Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais? Dica : M = C(1+i)^t
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Exercícios –logaritmo
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Exercícios –logaritmo
3)
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Exercícios – logaritmo
Log x + log ( x-5 ) = log 36 Log ((x)(x-5)) = log 36 Log (x²-5x) = log36 x² - 5x = 36 x= 9 ou x= -4 Porêm x não pode assumir o valor -4 pois o logaritimando deve ser sempre maior que 0. Resposta : D
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