DETERMINANTES Consideremos o número 1234.

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1 DETERMINANTES Consideremos o número 1234.
1 – PERMUTAÇÕES PARES E PERMUTAÇÕES ÍMPARES Consideremos o número 1234. São permutações de 1234. quatro duas três uma cinco zero três uma quatro uma quatro duas cinco duas cinco seis 3214 3 1 1 3 2 pulos (duas inversões) 1 pulos (uma inversão) Temos um total de 3 inversões. Esta permutação e ímpar.

2 2 – DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
A cada  matriz A = [aij], quadrada de ordem n, pode-se associar um número simbolizado por   det(A) chamado determinante da matriz A. Este número é definido por: det (A) = a1i1a2i2....anin a1j1a2j2....anjn Onde i1, i2, ..., in são as permutações pares de 1234 e j1, j2, ..., jn são as permutações ímpares.

3 Det = a1 . a2 - a1 . a2 1 2 1 2 MATRIZ 2 X 2 Permutações de 12:
12 (zero inversão – par) e 21 (uma inversão – ímpar) Det = a1 . a a a2 1 2 1 2 a b c d A = ad - bc det(A) =

4 MATRIZ 3 X 3 (a1 a2 a3 + a1 a2 a3 + a1 a2 a3 )
Permutações de 1 2 3 (zero inversão – par) (uma inversão – ímpar) (duas inversões – par) (uma inversão – ímpar) (duas inversões – par) (três inversões – ímpar) Det(A) = (a1 a2 a a1 a2 a a1 a2 a3 ) (a1 a2 a a1 a2 a a1 a2 a3 ) 1 2 3 1 3 2

5 det(A) = S1 – S2 MATRIZ 3 X 3 A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
S2 = (a31a22a13+a32a23a11+ a33a21a12) a a a13 a a a23 a a a33 a a12 a a21 a a32 S1 = (a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32) det(A) = S1 – S2

6 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
P1 - Det ( A ) = Det ( AT ) P2 - Det (k . A) = kn . Det ( A ). P3 - Det ( A . B ) = Det ( A ) . Det ( B ). P4 – É nulo o determinante da matriz que (a) tem um fila cujos elementos são todos nulos. (b) tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais. (c) tem uma fila que é uma combinação linear de outras duas filas paralelas. P5 – O determinante de uma matriz é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, quando todos os elementos de um ou dos dois lados da diagonal principal forem nulos. P6 – O determinante de uma matriz não altera quando trocamos a posição de duas filas paralelas de mesma paridade. Ex. trocar fila 1 com fila 5, ou fila 2 com fila 6. Se as paridades forem diferentes o determinante fica multiplicado por -1.

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8 P7 – O determinante de uma matriz não altera quando substituímos
uma fila pela combinação linear desta fila com filas paralelas. P8 – Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada se descompõem em duas somas, então seu determinante é igual a soma dos determinantes que têm nessa linha ou coluna o primeiro e a segunda soma respectivamente, sendo os elementos restantes iguais aos determinantes iniciais. P8 – Se uma fila de uma matriz for decomposta na soma de duas ou mais parcelas, o determinante é igual à soma dos determinantes das matrizes que se obtêm mantendo as demais as demais linhas e substituindo a linha decomposta pelas parcelas obtidas na decomposição.

9 Exercícios: 1. Calcule o determinante das seguintes matrizes
2 – Para que valor de “x” o determinante da matriz M é nulo? 3 – Para que valor de “a” o determinante da matriz N é igual a 12? N = 3 a 2 2 a 1 M = x