ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

Apresentação em tema: "ESTRUTURAS ALGÉBRICAS"— Transcrição da apresentação:

1 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AS ESTRUTURAS

2 I – GRUPÓIDE Consiste no par (A,) onde  é uma operação interna
definida no conjunto A. Exemplo 1: (Z, ), onde a  b = a – b (operação subtração). A subtração não é comutativa. a – b  b - a A subtração não é associativa. (a – b) – c  a – (b – c). (Z, -) admite neutro à direita. Zero é o elemento neutro à direita.  a  Z, a – 0 = a. Não existe neutro à esquerda. N – a = a  N = 2a.  Seria um neutro para cada valor de “a”. Também, em (Z, -) todo elemento é inversível à direita, sendo cada elemento o seu próprio inverso ( a  Z, a – a = 0).

3 (N, ), onde a  b = ab (potenciação).
Exemplo 2: (N, ), onde a  b = ab (potenciação). (a  b)  c = (ab) = abc e a  (b  c) = a(b ). c Como bc é diferente de bc,  não é associativa ab  ba. A potenciação não é comutativa.  admite elemento neutro à direita. a  n = an = a  n = 1.  1 é o elemento neutro à direita. Não existe neutro à esquerda. n  a = na = a  n = a a Inverso à direita a  a’ = aa’ = 1  a’ = 0. Isto é impossível. O mesmo inverso para todos os elementos.

4 II – SEMI-GRUPO É um grupóide associativo. Exemplo:
conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 onde a segunda coluna e o dobro da primeira e a segunda linha é igual à primeira linha. Será, o produto de duas matrizes desse tipo, uma matriz desse tipo? a a A1 = e A2 = b b Sejam: ab + 2ab a.2b + 4ab = 3ab ab = (3ab) (3ab) A1.A2 = Como pode ser notado, o resultado é uma matriz do tipo definido.

5 ou "grupóide comutativo".
A multiplicação de matrizes é associativa mas não é comutativa. Na multiplicação de matrizes, o elemento neutro é a matriz identidade. Porém, a matriz identidade não satisfaz a definição do tipo de matriz do Enunciado. Portanto, não há elemento neutro. Se não existe elemento neutro, não existe inverso. CONCLUSÃO: "o par (M, .), é um semigrupo" ou "grupóide comutativo".

6 III - MONÓIDE É um semi-grupo com elemento neutro. Exemplo:
Conjunto das matrizes quadradas de ordem 2. O produto de duas matrizes 2x2 é uma matriz 2 x 2. A multiplicação de matrizes é associativa A matriz identidade, com aij = 1 se i = j e aij = 0 se i  j é o elemento da multiplicação. Nem toda matriz tem inverso. Somente as matrizes com determinante diferente de zero têm inverso.