Prof.: Sergio Wagner.

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1 Prof.: Sergio Wagner

2 Os números reais 8ª ANO

3 Conjuntos Numéricos Diagramas, modelos e representações.
Conjuntos dos números Naturais e Inteiros: 2 -1 -3 -4 -5 C D ... 1 5 2 3 4 B A ...

4 -1 -2 -3 -4 -5 Z N = { 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...} Z= {... ,-4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...} 1 2 3 4 5 N

5 Um, 1, ou unidade, é a menor medida dos números naturais.
GEOMETRIA DE EUCLIDES A princípio os números foram criados somente para contar objetos, mas a partir de Euclides eles se tornaram medidas. Um, 1, ou unidade, é a menor medida dos números naturais. 2 3 4 ... 10 ...

6 O sinal indica o sentido de uma seta.
NÚMEROS NEGATIVOS O sinal indica o sentido de uma seta. 1 -1 2 -2 7 -7

7 Na reta o sinal indica para que lado “andamos” a partir da Origem (o zero). Para direita os positivos e para esquerda os negativos. O 1 3 2 4 5 6 -3 -2 -1 -4 -6 ...

8 Exemplos de visualização
O 1 3 2 4 5 6 -3 -2 -1 -4 -6 ... ... 3 + 1 = + = = 4 4 + (-5) = + = = -1 (-6) + 2 = + = = -4

9 O conjunto dos racionais (Quociente), é difícil de ser explicado quando pensamos nos números como “quantidade” mas com a representação deles como distância isso se torna fácil e intuitivo. ℕ= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...} ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ℚ = { x ∈ ℚ ⇔ a,b ∈ ℤ/ x = a ÷ b, b ≠ 0} = {..., -2, ..., -3/2, ..., -1, ..., 0, 1/5, ...} -41 10 -25 ℚ ℤ -1 9 ℕ 5 1 2 1 -4 7 -8 -6 3 2 -3 78 21 6 -10

10 O conjunto dos números racionais são, então, divisões de números inteiros. Algumas PROPRIEDADES são importantes ressaltar: Inverso multiplicativo: Todo número racional tem um inverso multiplicativo racional, com exceção do número zero. ∀ x ∈ ℚ* , ∃ y ∈ ℚ* / x • y = 1 Fácil verificar que este número é a divisão de um por x; 1 x

11 Expansão decimal: Todo número racional tem uma expansão decimal periódica. Na segunda notação da dízima, a barra indica o período a ser repetido infinitamente. Isto remete-se também a Euclides, utilizamos o Algoritmo de divisão de Euclides (o método de “armar” divisão já aprendido) para obter esta expansão.

12 Restos Restos ordenados
Algoritmo de divisão de Euclides e expansão decimal: 1 7 Temos o número em forma fracionária, e vamos transformá-lo em um número decimal: Primeira coisa a observar é que o resto de uma divisão, no algoritmo, deve sempre ser menor que o divisor. Neste caso há 7 números menores que 7; 1, 2, 3 ,4, 5, 6 e 0. Estes são todos os restos possíveis. Quando um resto for repetido na divisão, ele deixará o mesmo resto que antes e teremos uma repetição. O maior período em uma divisão por 7 é então, de 6 algarismos. Caso haja o resto zero a divisão é exata. | _ 1 3 0, 1 4 2 8 5 7 ... 2 2 6 3 4 5 4 1 ... 5 6 Restos ordenados Restos

13 Já que cada número tem uma e apenas uma expansão decimal, falta verificar se cada expansão decimal corresponde a um e apenas um número. Por termos dez dedos, nosso sistema numérico é decimal posicional. Isso significa que para cada posição temos dez possibilidades de valores. Funciona assim, como contagem; 10 x = 10 x =

14 MULTIPLICAÇÃO 0,5 ∙ 13 = 6,5 O QUE REALMENTE ISTO SIGNIFICA?
Da direita para a esquerda, respeitando o agrupamento de 10 em 10, resolve-se a multiplicação como se tratasse de dois números inteiros e “recoloca a vírgula”.

15 A multiplicação pode ser entendida no sentido da comensurabilidade
A multiplicação pode ser entendida no sentido da comensurabilidade. Dois números são comensuráveis quando uma medida pode medir ambos sem falta. A medida ½ pode medir, 4 e 3,5. Portanto são comensuráveis entre si. Multiplicar 4 e 3,5 volta, então, ao problema mais simples de repetir a medida. 4 são 8 medidas de ½, logo 4 = 8 . ½ 3,5 são 7 medidas de ½, logo 3,5 = 7 . ½ Logo:

16 DIVISÃO A divisão é mais intuitiva: é simplesmente tentar preencher um segmento com outro. E verificar quantas partes deste cabem naquele. Por exemplo, 10 ÷ 4 = 2,5 o quatro cabe duas vezes e mais sua metade(2) dentro do dez . ( 2 X ) Não há restos na divisão de racionais, pois os números podem ser quebrados para que se possa dividir o resto.

17 POTENCIAÇÃO A potenciação é também repetição, mas desta vez não da soma das distâncias, mas de quantas multiplicações se efetuam. n vezes

18 RAIZ QUADRADA A radiciação é o oposto da potenciação. Esta operação é crucial para a medida de tamanhos, e frequentemente não tem resposta no conjunto racional. Apenas os quadrados perfeitos e números cujos numerador e denominador de sua forma irredutível forem quadrados perfeitos têm raiz quadrada racional. Os quadrados perfeitos são esparsos, como podemos ver na seguinte seqüência: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, ...

19 Ora, o que isso significa
Ora, o que isso significa? Há mais números com raízes inexatas do que números com raízes quadradas exatas. Até 900, apenas 30 números tinham estas raízes exatas. Se uma raiz é inexata, este número não pode ser escrito como fração de dois números inteiros e portanto não são racionais. São irracionais as raízes :

20 Densidade da reta O 1 6 1 3 1 2 2 3 5 6 ℚ+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Entre quaisquer dois racioanais, há outro racional. Na unidade temos: 1 32 3 32 5 32 7 32 9 32 11 32 13 32 15 32 17 32 19 32 21 32 23 32 25 32 27 32 29 32 31 32 1 16 1 8 3 16 1 4 5 16 3 8 7 16 1 2 9 16 5 8 11 16 3 4 13 16 7 8 1 16

21 Em verdade, se construirmos uma reta com apenas os números irracionais, haveriam menos “buracos” e a reta seria consideravelmente mais densa. Pode-se dizer que há mais números irracionais do que racionais. ℚ O 1 3 2 4 5 6 -3 -2 -1 -4 -6 ... A reta abaixo é densa. É a reta Real e representa todas as distâncias que podemos construir na natureza. Qualquer distância que construirmos arbitrariamente encontrará um ponto na reta. O 1 3 2 4 5 6 -3 -2 -1 -4 -6 ... ℝ