Dep. de Informática - UFMA Estruturas Discretas e Lógica Matemática

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1 Dep. de Informática - UFMA Estruturas Discretas e Lógica Matemática
Discrete Mathematics and its Applications 5/19/2019 Dep. de Informática - UFMA Estruturas Discretas e Lógica Matemática Slides adaptados de Michael P. Frank Curso Baseado no Texto Discrete Mathematics & Its Applications (5th Edition) Kenneth H. Rosen 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA (c) , Michael P. Frank

2 Natureza e Importância das Provas
Discrete Mathematics and its Applications 5/19/2019 Natureza e Importância das Provas Em matemática, uma prova é: Um argumento que estabelece a verdade sobre uma afirmativa matemática de maniera rigorosa e irrefutável. 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA (c) , Michael P. Frank

3 Aplicações de Métodos de Prova
Discrete Mathematics and its Applications 5/19/2019 Aplicações de Métodos de Prova Prova de teoremas possui aplicações em verificação de programas, segurança de computadores, sistemas especialistas, etc.. Provar um teorema nos permite confiar na sua correção mesmo em cenários críticos. Em geral, ao tentar provar algo descobrimos alguns erros E.g.: correção de um programa Descobrimos porque o programa não está funcionando. 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA (c) , Michael P. Frank

4 Provas em Lógica de Predicados
Caso especial: Provas de teoremas em lógica de predicados. Vamos construir um cálculo formal para construção dessas provas e introduzir uma maneira menos formal 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

5 Discrete Mathematics and its Applications
5/19/2019 Terminologia Teorema Afirmativa que deve ser provada para ser verdadeira. Premissas - Axiomas Afirmativas (em geral não provadas) definindo as estruturas sobre as quais estamos argumentando. Regras de inferência Padrões de deduções para a partir das hipóteses chegarmos às conclusões. 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA (c) , Michael P. Frank

6 Discrete Mathematics and its Applications
5/19/2019 Mais Terminologia Lemma Teorema menor, que pode ser usado como um passo intermediário para provar um teorema maior. Corolário Teorema menor provado como consequência direta de um teorema maior. Conjectura Afirmativa cujo valor verdade não foi provado Teoria Conjunto de teoremas que podem ser provados a partir de um conjunto de axiomas. 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA (c) , Michael P. Frank

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Cálculo Dedutivo Existem várias maneiras formais de provar teoremas em lógica. Abordagem axiomática Tabelas semânticas Dedução Natural Vamos estudar a Dedução Natural Baseada no uso de regras de inferência 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

8 Regras de Inferência – Forma Geral
Discrete Mathematics and its Applications 5/19/2019 Regras de Inferência – Forma Geral Um regra de inferência é: Um padrão estabelecendo que se conhecemos um conjunto de premissas verdadeiras, então podemos deduzir certas conclusões realacionadas são verdadeiras. premissa 1 premissa 2 …  conclusão “” “logo” 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA (c) , Michael P. Frank

9 Regras de Inferência–Lógica Propos.
p Regra da Adição  pq pq Regra da Simplificação  p p Regra da Conjunção q  pq 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

10 Modus Ponens & Modus Tollens
p Modus ponens pq q q pq Modus tollens p Modo da afirmação Modo da negação 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

11 Discrete Mathematics and its Applications
5/19/2019 Silogismo pq Silogismo hipotético qr pr p  q Silogismo disjuntivo p  q Many valid inference rules were first described by Aristotle. He called these patterns of argument “syllogisms.” 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA Aristóteles (ca B.C.) (c) , Michael P. Frank

12 Validdade das Regras de Inferência
Podemos provar para cada uma dessas regras sua validade Se as premissas são True então a conclusão deve ser True. Exemplo: Regra do silogismo disjuntivo: “Se p  q e p então q” Use tabela verdade para provar que esta regra é válida 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

13 Regras de Inferência e Implicações
Cada RI válida corresponde a uma implica que representa uma tautologia. premissa RI premissa 2 …  conclusão Tautologia correspondente: ((prem 1)  (prem 2)  …)  conclusão 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

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Completude das RI Estas RI não são suficiente para provar todos os teoremas (i.e., não são completas) Por exemplo: Suponha vc deseja provar uma proposição da forma pq. (Ou:p) : Somente uma regra é aplicável: silogismo hipotético (esta regra pressupõe que os antecedentes também são da forma pq) Discutiremos isto depois. 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

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Prova Formal A prova formal de uma concluão C, a partir das premissas p1, p2,…,pn consiste de um sequência finita de passos, em cada um deles aplicando alguma regra de inferência às premissas ou a afirmativas previamente provadas, para ao final fornecer uma nova afirmativa verdadeira - conclusão 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

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Validade e Verdade Método de prova é válido se: nunca chega a conclusão falsa partindo de premissas verdadeiras nunca chega a conclusão verdadeira partindo de premissas falsas 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

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Prova Forma - Exemplo Suponha as seguintes premissas: “Não está com sol, está frio.” “Vamos nadar somente se estiver com sol.” “Se não nadarmos vamos andar de barco.” “Se andarmos de barco chegaremos cedo em casa.” E prove o teorema “Vamos chegar cedo em casa” usando RI. 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

18 Prova Forma – Exemplo - Solução
Considere: sol= “Está com sol”; frio= “Está frio”; nadar = “Vamos nadar”; barco = “Vamos andar de barco”; cedo = “Chegaremos cedo em casa”. As premissas podem ser escritas como: (1) sol  frio (2) nadar  sol (3) nadar  barco (4) barco  cedo 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

19 Prova Forma – Exemplo - Solução
Passo Provado por 1. sol  frio Premissa #1. 2. sol Simplificação of nadarsol Premissa #2. 4. nadar Modus Tollens em 2,3. 5. nadarbarco Premissa #3. 6. barco Modus Ponens em 4,5. 7. barcocedo Premissa #4. 8. cedo Modus Ponens em 6,7. 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

20 RI para Quantificadores
x P(x) Instanciação universal P(o) (substitui um objeto específico o) P(g) (g um elemento qualquer do UD) x P(x) Generalização universal x P(x) Instanciação existencial P(c) (substitui por uma nova constante c) P(o) (substitui um objeto o) x P(x) Generalização existencial 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

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Regras problemáticas: Generalização universal (“qualquer o”) Instanciação existencial (“novo c”) Regras sem problemas: Instanciação universal Generalização existencial 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

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Exemplo simples O argumento é correto ou não? “Todo aluno de computação é bonito. Jocivaldo é aluno de computação. Assim, Jocivaldo é bonito.” Primeiro separe as premissas da conclusão: Premissa #1: Todo aluno de computação é bonito Premissa #2: Jocivaldo é aluno de computação. Conclusão: Jocivaldo é bonito. 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

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cont… Escrevendo em notação de lógica. Premissa #1: Todo aluno de computação é bonito. U.D. = todas as pessoas T(x) :≡ “x é aluno de computação” E(x) :≡ “x é bonito” Premissa #1 afirma: x(T(x)→E(x)) 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

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cont… Premissa #2: Jocivaldo é aluno de computação. R :≡ Jocivaldo Premissa #2 afirma: T(R) Conclusion afirma: E(R) Argumento correto: 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

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Cont.... Afirmativa Como foi obtida x(T(x) → E(x)) (Premissa #1) T(Ramesh) → E(Ramesh) (Instanciação Universal) T(Ramesh) (Premissa #2) E(Ramesh) (Modus Ponens de afirmativa #2 e #3) 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

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Na prática, provas são apresentadas de maneira informal. Mostraremos algumas técnicas 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

27 Exemplo de Prova Informal
Teorema: Se x(P(x) Q(x) e x(Q(x) R(x)) Então x(P(x) R(x)). Prova: Suponha que premissas valem mas conclusão não, e.g., P(a) and R(a). Primeira premissa implica que P(a)Q(a), assim temos que Q(a). Segunda premissaimplica que Q(a)R(a), assim também temos R(a). O que gera uma contradição pois R(a) Logo: Suposição inicial não pode ser True. 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

28 Forma geral desta prova
Teorema: Se p e q então r. Prova: Assume p e q (premissas) Supõe que r (tenta) Esta suposição leva a uma contradição (e.g. R(a)  R(a)). .Assim, r não pode ser True. Logo, r deve ser True. Esta estratégia de prova é denominada: Prova por contradição Redução ao absurdo 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

29 Outros métodos de prova para implicações
Prova Direta: Assume p é true, e prova q. Prova indireta: Assume q, e prova p. Prova por Vácuo: Prove p por ele mesmo. Prova Trivial: Prove q por ele mesmo. Prova por casos: Mostre que p(a  b),e (aq) e (bq). 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

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5/19/2019 Exemplo – Prova Direta Definição: Um inteiro n é impar sss n=2k+1 para algum inteiro k; n é par sss n=2k para um k. Teorema: (Para todos os números n) Se n é impar, então n2 é um inteiro impar. Prova: Se n é ímpar, então n = 2k+1 para algum k. Assim, n2 = (2k+1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) Logo n2 é da forma 2j + 1 (com j igual a 2k2 + 2k), logo n2 é impar. The statement that every integer is either odd or even can actually be proven from simpler axioms, the Peano axioms of arithmetic. However, for 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA (c) , Michael P. Frank

31 Prova Indireta - Exemplo
Teorema: (Para todo inteiro n) Se 3n+2 é ímpar, então n é ímpar. Prova: Suponha que a conclusão é falsa, i.e., n é par. Então n=2k para algum k. Assim 3n+2 = 3(2k)+2 = 6k+2 = 2(3k+1). Logo 3n+2 é par. Logo 3n+2 não é ímpar. Mostramos que ¬(n é impar)→¬(3n+2 é impar), assim a contra-positiva (3n+2 é impar) → (n é impar) tambem é True 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA

32 Exemplo de Prova por Vácuo
Discrete Mathematics and its Applications 5/19/2019 Exemplo de Prova por Vácuo Teorema: (Para todo n) Se n é par e impar então n2 = n + n. Prova: A afirmativa “n é par e ímpar” é False, poissince no number can be both odd and even. Assim o teorema é verdadeiro por vácuo. This example is a bit silly of course. 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA (c) , Michael P. Frank

33 Prova Trivial - Exemplo
Teorema: (Para n inteiro) Se n é a soma de dois números primos, então né par ou n é impar. Prova: Qualquer inteiro é par ou ímpar. Assim a conclusão é verdadeira sem importar os antecedentes. É trivialmente True. 5/19/2019 Prof. Anselmo Paiva - DEINF - UFMA