Lógica Proposicional Dedução Natural.

Apresentação em tema: "Lógica Proposicional Dedução Natural."— Transcrição da apresentação:

1 Lógica Proposicional Dedução Natural

2 Conseqüência lógica Definição informal: Definição formal:
Uma fórmula é uma conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira. Definição formal: Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b, H é conseqüência lógica de b num sistema de dedução, se existir uma prova de H a partir de b

3 Notação de Conseqüência Lógica e Teorema
Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn}, diz-se que: b├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H Uma fórmula H é um teorema se existe uma prova de H que não usa hipóteses ├ H

4 Cálculo Proposicional
Cálculo = Lógica + Sistema de Prova (ou dedução) Um sistema de prova serve para analisar e raciocinar sobre argumentos de uma lógica, de maneira a prová-los válidos ou inválidos.

5 Sistema de dedução natural
Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de fórmulas da Lógica Proposicional Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

6 Regras de inferência de dedução natural
Servem para inserção e retirada de conectivos lógicos, criando derivações Regras de Introdução Regras de Eliminação Chama-se dedução natural por estar próxima da maneira como nós raciocinamos quando queremos (informalmente) provar um argumento.

7 Regras de inferência - conjunção
Introdução da conjunção (^I): H G -> derivação H^G Eliminação da conjunção (^E): H^G H^G H G

8 Prova Dados H uma fórmula e b um conjunto de fórmulas (hipóteses)
Uma prova de H a partir de b é uma derivação onde As regras de inferência são aplicadas tendo como premissas fórmulas de b A última fórmula da derivação é H

9 Exemplo de prova P ^ Q, R |- Q ^ R P ^ Q (Premissa)
Q (^E) R (Premissa) Q^R (^I) Exercícios: (P^Q) ^ R, S^T |- Q^S P^Q |- Q^P (P^Q) ^ R |- P ^ (Q^R)

10 Regras da Dedução Natural - implicação
Eliminação da implicação - modus ponens (E) H H  G G Introdução da implicação (I) [H] (hipótese eliminada) | G H  G

11 Exemplo de eliminação da implicação
P^Q, (P (Q R)) ├ (Q R) P^Q P (^E) P (Q R) (premissa) (Q R) (E)

12 Exemplo de introdução da implicação
├ (P ((PQ)Q) Supor os antecedentes Eles não poderão ser usados depois [P] [(PQ)] (hipóteses) Q (E) (PQ)Q) (I) (P ((PQ)Q) (I)

13 Exercício ├ (P(Q P)) ├ (P(Q R)) ((P^Q)R))

14 Exercícios 1. {P^Q, (P^Q)(R^P)} |- R^P
2. {P  (Q R), PQ, P} |- R 3. {P (P  Q), P} |- Q

15 Regras da Dedução Natural - disjunção
Introdução da disjunção (vI) H G . HvG HvG Eliminação da disjunção (vE) [H] [G] (hipóteses) D1 D2 HvG E E E

16 Exemplo de Eliminação da disjunção
{PvQ,Q,P} |- false PvQ [P] P (prem.) [Q] Q (prem.) false false false

17 Regras da Dedução Natural - negação
De uma derivação de uma contradição (false) a partir de uma hipótese H, pode-se descartar a hipótese e inferir H e vice-versa [H] (I) [H] (E ou RAA) | | false false reductio ad H H absurdum Exercícios: HH e H H

18 Exercício Mostre que o seguintes argumento é válido:
Se este argumento for incorreto e válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.

19 Solução Identificando as Sentenças: Formalizando:
P: as premissas deste argumento são verdadeiras. S: este argumento é correto. V: este argumento é válido. Formalizando: {(S ^ V)  P, P, V} ├ S

20 Exercício Deus não existe. Pois, se Deus existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado. Prove isso!

21 Quando tudo o mais falhar
EFQ: ex falso quodlibet ou regra da contradição Podemos estar loucos, então qualquer literal é aceitável! false H

22 Prova de EFQ {P, P} ├ Q Q . P P (prem.) false Q (E)

23 Exemplo Prove o Silogismo Disjuntivo, usando EFQ: {P v Q, P} ├ Q

24 Lógicas clássicas Lógica minimal: {^v} x {IE} Lógica intuicionista =
Lógica minimal U EFQ

25 Exercícios {P (QR), P, Q} |= R {P  Q, P} |= Q
{P  (Q ^ R), P} |= P ^ Q {(P ^ Q)  (R ^ S), P, Q} |= S {AB, C(DvE), DC, AE} |= (C  B) {Cv(B  A), A  R, (B  R)  S} |= (C  S)