TC2- Lógica Proposicional

Apresentação em tema: "TC2- Lógica Proposicional"— Transcrição da apresentação:

1 TC2- Lógica Proposicional
Prova por contradição Premissas: Cube(c) Ú Dodec(c) e Tet(b) Concluir: bc Prova: Supondo b=c Da 1ª premissa: Cube(c) ou Dodec(c) Se Cube(c) , então Cube(b) (indiscernibilidade dos idênticos) o que contradiz Tet(b) Se Dodec(c) então Dodec(b) (indiscernibilidade dos idênticos) Obtemos contradição nos 2 casos, logo contradição. Então, bc Cristina Ribeiro

2 TC2- Lógica Proposicional
Prova por contradição 2 Provar: Ö2 é irracional Factos acerca dos racionais nº racional pode ser expresso como p/q, com pelo menos 1 de p e q ímpar elevando ao quadrado um número ímpar, obtém-se outro ímpar; se n2 é par, n é par e n2 é divisível por 4 Prova: Suposição: Ö2 é racional Ö2= p/q (um de p e q é ímpar) p2 / q2 =2 ou p2 = 2 q2 : p2 é par e p2 é divisível por 4 p2 é divisível por 4, q2 é divisível por 2; q é par p e q ambos pares: contradiz a afirmação incial Então Ö2 não é racional Cristina Ribeiro

3 TC2- Lógica Proposicional
O que é contradição? Afirmação que não pode ser verdadeira Conjunto de afirmações que não podem ser verdadeiras simultaneamente NaSala(Rita) Ù ØNaSala(Rita) b ¹ b Cube(c) e Tet(c) Conjunto de frases é contraditório se não puder ser satisfeito Para provar F usando contradição: Assume-se Ø F Constrói-se Ø Ø F Conclui-se Ø Ø F e portanto F Cristina Ribeiro

4 Premissas inconsistentes
TC2- Lógica Proposicional Premissas inconsistentes Conjunto de frases é inconsistente: não existe um mundo no qual possam ser satisfeitas simultaneamente Consequência lógica: qualquer fórmula é consequência de um conjunto inconsistente de premissas qualquer circunstância que as torne simultaneamente verdadeiras , torna a consequência verdadeira tambem NaSala(Rita) Ù NaSala(Luis) ØNaSala(Rita) ØNaSala(Luis) Argumentos com premissas insconsistentes: pouco úteis se não há circunstância que torne as premissas simultaneamente verdadeiras , não temos indicação quanto ao valor lógico da conclusão. Cristina Ribeiro

5 Regras de inferência para Ù
TC2- Lógica Proposicional Regras de inferência para Ù Eliminação da conjunção Introdução da conjunção P1 Ù ¼ Ù Pi Ù ¼ Ù Pn M Pi P1 ß Pn M P1 Ù ¼ Ù Pi Ù ¼ Ù Pn significa que todos os elementos P1 a Pn têm de aparecer na prova antes de se introduzir a conjunção P1 ß Pn Cristina Ribeiro

6 TC2- Lógica Proposicional
Ù nas provas formais 1. A Ù B Ù C 2. B Ù Elim: 1 3. C Ù Elim: 1 4. C Ù B Ù C Ù Intro: 3,2,3 Parêntesis: introduzir quando pode haver ambiguidade 1. P Ú Q 2. R 3. (P Ú Q) Ù R Ù Intro: 1,2 1. P Ú Q 2. R 3. P Ú Q Ù R Ù Intro: 1,2 Cristina Ribeiro

7 Regras de inferência para Ú
TC2- Lógica Proposicional Regras de inferência para Ú Introdução da disjunção Eliminação da disjunção Pi M P1 Ú ¼ Ú Pi Ú ¼ Ú Pn P1 Ú ¼ Ú Pi Ú ¼ Ú Pn M ß F P1 M F Pn M F Prova por casos a Cristina Ribeiro

8 TC2- Lógica Proposicional
Ú nas provas formais 1. (A Ù B) Ú (C Ù D) 2. (A Ù B) 3. B Ù Elim: 2 4. B Ú D Ú Intro: 3 5. (C Ù D) 6. D Ù Elim: 5 7. B Ú D Ú Intro: 6 8. B Ú D Ú Elim: 1, 2-4, 5-7 Cristina Ribeiro

9 TC2- Lógica Proposicional
Exemplo 1. P Ú (Q Ù R) 2. P 3. P Ú Q Intro: 2 4. P Ú R Ú Intro: 5. Ù Intro: 3,4 6. Q Ù R 7. Q Ù Elim: 8. P Ú Q Ú Intro: 7 9. R Elim: 6 10. Ú Intro: 9 11. (P Ú Q) Ù (P Ú R) Ù Intro: 8,10 12. (P Ú Q) Ù (P Ú R) Ú Elim: , 2-5, 6- ? ? ? ? ? ? ? ? Cristina Ribeiro

10 Regras de Inferência para Ø
TC2- Lógica Proposicional Regras de Inferência para Ø Eliminação da negação Introdução da negação ØØ P M P P M Q ÙØQ ØP Prova por contradição Nota: Sistemas formais são rígidos acerca do tipo de fórmulas que constituem a contradição: aqui é Q ÙØQ Cristina Ribeiro

11 TC2- Lógica Proposicional
Ø nas provas formais 1. A 2. Ø A 3. A Ù ØA Ù Intro: 1,2 4. ØØA Ø Intro: 2-3 Teorema 1 A Û ØØA 1. P 2. Ø P 3. ØQ 4. P Ù ØP Ù Intro: 1,2 5. ØØ Q Ø Intro: 3-4 6. Q Ø Elim: 5 Prova-se fórmula arbitrária a partir de premissas inconsistentes Cristina Ribeiro

12 TC2- Lógica Proposicional
Exemplo Prova de verdade lógica: não tem premissas 1. P Ù Q Ù ØP 2. P Ù Elim: 1 3. Ø P Ù Elim: 1 4. P Ù ØP Ù Intro: 2,3 5. Ø (P Ù Q Ù ØP) Ø Intro: 1-4 Cristina Ribeiro

13 TC2- Lógica Proposicional
Uso de subprovas 1. (B Ù A) Ú (A Ù C) 2. B Ù A 3. B Ù Elim: 2 4. A Ù Elim: 2 5. (A Ù C) 6. A Ù Elim: 5 7. A Ú Elim: 1, 2-4, 5-6 8. A Ù B Ù Intro: 7,3 Errado 8: usa passo 3 de subprova fechada Quando uma subprova é fechada: Suposições são descarregadas Subprova pode ser usada como um todo para justificar outros passos Cristina Ribeiro

14 TC2- Lógica Proposicional
Exemplo 1. Ø(P Ù R) 2. Ø(ØP Ú ØR) 3. ØP 4. ØP Ú ØR Ú Intro: 3 5. (ØP Ú ØR) Ù Ø(ØP Ú ØR) Ù Intro: 4,2 6. ØØP Ø Intro: 3-5 7. P Ø Elim: 6 8. ØR 9. ØP Ú ØR Ú Intro: 8 10. (ØP Ú ØR) Ù Ø(ØP Ú ØR) Ù Intro: 9,2 11. ØØR Ø Intro: 8-10 12. R Ø Elim: 11 13. P Ù R Ù Intro: 7,12 14. Ø(P Ù R) Reit: 1 15. (P Ù R) Ù Ø(P Ù R) Ù Intro: 13,14 16. ØØ(ØP Ú ØR) Ø Intro: 2-15 17. ØP Ú ØR Ø Elim: 16 Teorema 2 Cristina Ribeiro

15 TC2- Lógica Proposicional
Citar teoremas Para encurtar a prova em F : usar resultados prévios 1. Ø(P Ù Q) 2. P 3. ØP Ú ØQ Teor Prev (Teorema 2): 1 4. ØØP Teor Prev (Teorema 1): 2 5. ØQ Teor Prev (Cancelamento): 3,4 Símbolos usados nas provas: podem ser substituídos por outros símbolos por fórmulas arbitrárias Cristina Ribeiro

16 TC2- Lógica Proposicional
Formas normais Leis distributivas Para toda a escolha de fórmulas P, Q e R (1) Distributividade de Ù sobre Ú : P Ù (Q Ú R) Û (P Ù Q) Ú (P Ù R) (1) Distributividade de Ú sobre Ù : P Ú (Q Ù R) Û (P Ú Q) Ù (P Ú R) Forma normal disjuntiva (DNF): Fórmula construída a partir de literais com as conectivas Ù e Ú: reescrita como disjunção de conjunções de literais Forma normal conjuntiva (CNF): Fórmula construída a partir de literais com as conectivas Ù e Ú: reescrita como conjunção de disjunções de literais Cristina Ribeiro

17 TC2- Lógica Proposicional
Exemplo Transformar em forma normal disjuntiva (A Ú B) Ù (C Ú D) Û [(A Ú B) Ù C] Ú [(A Ú B) Ù D] Û (A Ù C) Ú (B Ù C) Ú [(A Ú B) Ù D] Û (A Ù C) Ú (B Ù C) Ú (A Ù D) Ú (B Ù D) Transformar em forma normal conjuntiva (A Ù B) Ú (C Ù D) Û [(A Ù B) Ú C] Ù [(A Ù B) Ú D] Û (A Ú C) Ù (B Ú C) Ù [(A Ù B) Ú D] Û (A Ú C) Ù (B Ú C) Ù (A Ú D) Ù (B Ú D) Ø((A Ú B) Ù ØC) Û Ø(A Ú B) Ú ØØC Û (ØA Ù ØB) Ú ØØC Û (ØA Ù ØB) Ú C Û (ØA Ú C) Ù (ØB Ú C) Cristina Ribeiro

18 Completude para as funções da verdade
TC2- Lógica Proposicional Completude para as funções da verdade Uma conectiva arbitrária pode ser expressa com Ø, Ù e Ú ? Conectivas binárias: tabela de verdade tem 4 linhas cada linha pode ter V ou F número de conectivas possíveis: 24 P Q P * Q V V valor1 V F valor2 F V valor3 F F valor4 C1= P Ù Q C2= P Ù ØQ C3= ØP Ù Q C4= ØP Ù ØQ Representação de *: disjunção dos Ci correspondentes a linhas com valor V Todas as funções binárias funcionais da verdade podem ser descritas com Ø, Ù e Ú Cristina Ribeiro

19 Completude para as funções da verdade
TC2- Lógica Proposicional Completude para as funções da verdade Conectivas unárias P #P V valor1 F valor2 Ambos os valores F: P Ù ØP Outros casos: disjunção de C1= P e C2= ØP Conectivas de outras aridades P Q V V V F M M M V Exprimir conectiva em DNF: (P Ù Q Ù ØR) Ú ... Não são necessários Ø, Ù e Ú : P Ú Q Û Ø(ØP Ù ØQ) Cristina Ribeiro