Formalizar semântica da LPO

Apresentação em tema: "Formalizar semântica da LPO"— Transcrição da apresentação:

1 Formalizar semântica da LPO
Tratamento das noções semânticas da LPO Proposicional 1ª Ordem Tabela de verdade Atribuições de verdade Domínios de discurso Estruturas de 1ª ordem Informal Formal Atribuições de verdade: insuficientes para a semântica de frases quantificadas "x P(x) $x P(x) verdade não é função da verdade de outras frases

2 Representação rigorosa de um mundo
Estrutura de 1ª ordem: especifica colecção de objectos como domínio de discurso estabelece as propriedades dos objectos Exemplo: sublinguagem da do Tarski´s World Predicados Cube Larger = Nomes c Há número infinito de frases na linguagem Descrever o mundo no que diz respeito à linguagem exemplo: D={b1, b2, b3, b4} conjunto de objectos é domínio de discurso Factos: acerca das propriedades que podem ser expressas posição dos objectos: irrelevante, não se pode falar dela forma dos objectos: predicado Cube Cu={b1, b2, b3} subconjunto do domínio de discurso é extensão do predicado

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4 Representação rigorosa de um mundo
Descrever o mundo(cont.) posição dos objectos: é irrelevante, não há predicado que fale dela tamanho dos objectos La ={<b2,b1>, <b3,b1>, <b3,b2>, <b2,b4>, <b3,b4>} <x,y> pares em que x e y são elementos de D <x,y> Î La sse x é maior que y função de nomeação associa cada nome com o seu referente- objecto do domínio a que o nome está associado identidade entre objectos- predicado = extensão fixada dado D {<b1,b1>, <b2,b2>, <b3,b3>, <b4,b4>}

5 Estrutura de 1ª ordem Agrupa Função única M (de modelo)
domínio do discurso extensões dos predicados referentes dos nomes Função única M (de modelo) Domínio de M predicados da linguagem nomes da linguagem símbolo de quantificador " M(") é o conjunto não vazio D- domínio do discurso M(p) para cada predicado n-ário da linguagem conjunto de tuplos <x1,x2,…, xn> de elementos de D - extensão de p M(c) para cada nome da linguagem é elemento de D - referente de c Notação simplificada M(Cube) - CubeM M(") - DM

6 Estruturas espúrias Frases atómicas podem ser não independentes
há atribuições de verdade que não representam possibilidades genuínas há estruturas de 1ª ordem que não representam possibilidades genuínas Consideram-se apenas as estruturas que respeitam as relações entre frases atómicas Exemplo: acrescentando predicado Tet à linguagem exemplo Estruturas em que um objecto esteja simultaneamente em TetM e em CubeM: são espúrias

7 Verdade e satisfação Quando são verdadeiras? Informalmente:
"x P(x) $x P(x) Quando são verdadeiras? Informalmente: Satisfação de uma fórmula por um objecto c - novo nome S(c) quando é verdadeiro Formalmente: nas estruturas de 1ª ordem M: estrutura de 1ª ordem com domínio D Atribuição de variáveis: função (parcial) h das variáveis para D Exemplo: D={a,b,c} h1 atribui b à variável x h2 atribui a,b,c às variáveis x,y,z respectivamente h3 atribui b a todas as variáveis da linguagem h4 é a função vazia (h^ )

8 Atribuição de verdade Atribuição é apropriada para a wff P:
Todas as variáveis de P estão no domínio de h No exemplo: h1 é apropriada para qualquer wff com variável x, ou sem variáveis h2 é apropriada para qualquer wff com variáveis em {x,y,z} h3 é apropriada para todas as wff h4 é apropriada para wff’s sem variáveis livres Modificação de uma atribuição de variáveis h notação h[v/b] atribuição cujo domínio é o de h acrescido da variável v toma os mesmos valores que h, excepto para v atribui a v o valor b

9 Exemplo h1 atribui b à variável x
h1[y/c] atribui b à variável x e c à variável y h1[x/c] só atribui valor a x e é c h2 atribui a,b,c às variáveis x,y,z respectivamente h2[x/b] atribui os valores b,b,c às variáveis x,y,z h2[u/c] atribui os valores c,a,b,c às variáveis u,x,y,z h3 atribui b a todas as variáveis da linguagem h3[y/b] é a mesma atribuição que h3 h3[y/c] atribui c à variável y e b às restantes

10 Satisfação em M com atribuição h
Satisfação da wff P na estrutura M com atribuição h Fórmula atómica Ex: P(x,c,y) h tem de atribuir elementos de D a x e y h(x) = a h(y) = d M atribui a c uma denotação, seja b Nesta estrutura e atribuição: P(x,c,y) afirma que o tuplo <a,b,d> está na extensão de P <a,b,d> Î PM h satisfaz P(x,c,y) Negação P é ØQ h satisfaz P sse h não satisfaz Q

11 Satisfação em M com atribuição h
Satisfação da wff P na estrutura M com atribuição h (cont.) Conjunção P é QÙR h satisfaz P sse h satisfaz Q e h satisfaz R Disjunção P é QÚR h satisfaz P sse h satisfaz Q ou h satisfaz R ou ambos Quantificação universal P é "v Q h satisfaz P sse para todo o d Î DM h[v/d] satisfaz Q Quantificação existencial P é $v Q h satisfaz P sse para algum d Î DM h[v/d] satisfaz Q Notação: M |= P [h]

12 Exemplo D= {a,b,c} GostaM = {<a,a>, <a,b>, <c,a>}
Fórmula: $y (Gosta(x,y) Ù ØGosta(y,y)) variável livre x h tem de atribuir valor a x: senão seria inadequada valor que h atribui a x: e (e tem de ser a, b ou c) por $: h satisfaz P sse há um objecto d Î DM tal que h[y/d] satisfaz Gosta(x,y) Ù ØGosta(y,y) por Ù h[y/d] deve satisfazer Gosta(x,y) e não Gosta(y,y) fórmulas atómicas <e,d> deve estar na extensão de Gosta, mas <d,d> não verifica-se para e=a e d=b então h atribui a a x

13 Verdade numa estrutura de 1ª ordem
Verdade de uma frase numa estrutura de 1ª ordem M Frase P é verdadeira numa estrutura M sse a atribuição vazia h^ satisfaz P em M P não é verdadeira em M: P é falsa em M M |= P P é verdadeira em M Verdade lógica L: Linguagem de 1ª ordem S: colecção de todas as estruturas não espúrias para L M Î S P: frase de L P é logicamente verdadeira se é verdadeira em toda a estrutura

14 Verdade e Consequência lógicas
L: Linguagem de 1ª ordem S: colecção de todas as estruturas não espúrias para L M Î S P: frase de L P é logicamente verdadeira se é verdadeira em toda a estrutura M P é satisfazível se é verdadeira em alguma estrutura M P é falsificável se é falsa nalguma estrutura M (se não é logicamente verdadeira) Q é consequência lógica de um conjunto T={P1, …} de frases se toda a estrutura M que torna todas as frases de T verdadeiras também torna Q verdadeira

15 Skolemização "x $y Vizinho(x,y)
Símbolos de função: evitam frases com quantificadores encaixados "x $y Vizinho(x,y) Para um domínio de discurso (estrutura M) frase afirma que todo o b no domínio tem pelo menos um vizinho c M |= Vizinho(x,y) [b,c] Sendo verdadeira a frase original: pode fazer-se função f de “escolha do vizinho” M |= Vizinho(x,y) [b,f(b)] Na frase original: símbolo de função para a função f M |= "x Vizinho(x,f(x)) f é função de Skolem para a frase quantificada

16 Skolemização Em geral "x $y P(x,y) "x P(x,f(x)) forma Skolemizada
Todo o mundo que torna verdadeira a Skolemização torna verdadeira a frase original Todo o mundo que torna verdadeira a frase inicial pode ser transformado num outro que torna a Skolemização verdadeira: interpretar o símbolo de função f por uma função f que escolhe, para todo o objecto b do domínio, um objecto c tal que satisfaçam P(x,y)

17 Unificação de termos Aplicação: linguagens com símbolos de função
Exemplo: O pai do Rui anda de moto Nenhum avô anda de moto O avô do Zé anda de moto Nenhum pai anda de moto P(f(a) "x ØP(f(g(x))) P(f(g(a))) "x ØP(f(x)) compatíveis incompatíveis possível: f(a) é P mas nenhum f(g(b)) é P impossível: basta substituir x por g(a)

18 Unificação Definição de unificação Noção puramente sintáctica
f(a) e f(g(x)) não unificáveis f(g(a)) e f(x) unificáveis Definição de unificação Termos t1 e t2 unificáveis se Existe substituição de variáveis de t1 e t2 por termos tais que os resultados da substituição são termos sintacticamente idênticos Conjunto T de termos unificável se Existe uma substituição única para algumas das variáveis que ocorrem nos termos de T tal que os termos resultantes são todos sintacticamente idênticos Noção puramente sintáctica pai(Rui) e pai(pai(x)) não unificáveis pai(pai(Rui)) e pai(y) unificáveis

19 Exemplos de unificação
g(x) h(y) h(f(x,x)) h(y) f(x,y) f(y,x) g(g(x)) g(h(y)) g(x) g(h(z)) g(x) g(h(x)) Algoritmo de unificação: decide se 2 termos são unificáveis e dá o unificador mais geral caso sejam Exemplo: (11.16) Mostrar que há um número infinito de substituições que unificam os termos g(f(x,y)) e g(f(h(y), g(z))) Indicar a substituição mais geral. Quais são unificáveis? Quais os unificadores?

20 Provar que Q é consequência lógica das premissas
Resolução em LPO Problema: P1, …Pn premissas Q conclusão Reformulando P1 Ù ... Ù Pn Ù ØQ é não satisfazível Resolução: requer frases sem quantificadores Possível reformular fórmulas da LPO para aplicar resolução Frase universal: forma prenex só com " Exemplo: "x "y P(x,y) (S) linguagem só com 2 nomes: b e c; sem símbolos de função P(b,b) Ù P(b,c) Ù P(c,b) Ù P(c,c) (S’) S satisfazível Þ S’ satisfazível S’ não satisfazível Þ S não satisfazível Provar que Q é consequência lógica das premissas

21 Resolução em LPO "x1 $y1 "x2 $y2 … P(x1, y1, x2, y2, …)
1. Escrever cada frase em forma prenex "x1 $y1 "x2 $y2 … P(x1, y1, x2, y2, …) 2. Skolemizar cada uma das frases "x1 "x2 … P(x1, f1(x1), x2, f2(x1,x2), …) 3. Escrever o resultado em forma normal conjuntiva P1 Ù P2 Ù … Ù Pn Pi: disjunção de literais 4. Distribuir os quantificadores pela conjunção e construir conjunto de frases da forma "x1 "x2 … Pi 5. Renomear as variáveis ligadas para que não se use o mesmo nome 2 vezes 6. Abandonar os " e Ú ficando com conjunto de cláusulas 7. Resolver as cláusulas, usando a unificação para desfazer os conflitos entre literais

22 Exemplos Exemplo 1 Exemplo 2 Premissa (A) "x (P(x,b) Ú Q(x))
"y ØP(f(y), b) Passo 6: unificando x e f(y) as 2 cláusulas resolvem para Exemplo 2 Premissa (A) "x (P(x,b) Ú Q(x)) Premissa (B) "y (ØP(f(y), b) Ú Q(y)) Conclusão(C) "y (Q(y) Ú Q(f(y))) Forma prenex para ØC $y (ØQ(y) Ù ØQ(f(y))) Skolemizando ØQ(c) Ù ØQ(f(c)) mostrar que não são satisfazíveis simultaneamente Mostrar que A Ù B ÙØC não é satisfazível c: função de Skolem de aridade 0

23 Exemplos Exemplo 2 (cont.) Cláusulas a resolver
1. {P(x,b), Q(x)} (de A) 2. {ØP(f(y), b), Q(y)} (de B) 3. {ØQ(c)} (de C) 4. {ØQ(f(c))} (de C) Resolventes Cláusulas Substituição 5. {Q(f(y)) , Q(y)} 1,2 x por f(y) 6. {Q(f(c))} 3,5 y por c ,

24 Exemplos Exemplo 3 Todos admiram alguém que os admira excepto se admirarem o Santana Há pessoas que se admiram mutuamente, uma das quais pelo menos admira o Santana "x [ØA(x, s) ® $y (A(x,y) Ù A(y,x))] (S1) $x $y [A(x, s) Ù A(x,y) Ù A(y,x)] (S2) Provar: S2 consequência lógica de S1, ou S1 e ØS2 não satisfazíveis simultaneamente ØS2: "x "y [ØA(x, s) Ú ØA(x,y) Ú ØA(y,x)] S1: "x $y [A(x, s) Ú (A(x,y) Ù A(y,x))] (Forma prenex) "x [A(x, s) Ú (A(x,f(x)) Ù A(f(x),x))] (Skolemização) "x [(A(x, s) Ú A(x,f(x))) Ù (A(x, s) Ú A(f(x),x))] (Forma clausal)

25 Exemplos Exemplo 3 (cont.) Cláusulas a resolver
1. {A(x, s), A(x,f(x))} (de S1) 2. {A(y, s), A(f(y),y)} (de S1) 3. {ØA(z, s), ØA(z,w), ØA(w,z)} (de S2) Resolventes Cláusulas Substituição 4. {A(s,f(s))} 1,3 w,x e z por s 5. {A(f(s),s)} 2,3 w,y e z por s 6. {ØA(s,f(s))} 3,5 z por f(s) e w por s ,

26 Completude Métodos de prova: manipulações sintácticas num sistema formal Coerência: Resultado de uma prova é consequência lógica das premissas Completude: Se um facto é consequência lógica de um conjunto de premissas, pode encontrar-se uma prova para ele no sistema formal Teorema da completude de Gödel Se numa linguagem de 1ª ordem não existem estruturas espúrias, então é possível ter um sistema de inferência completo.

27 Incompletude Teorema da Incompletude de Gödel
Linguagem com dependências complexas entre as frases atómicas: qualquer sistema de prova é necessariamente incompleto. Exemplo: linguagem da aritmética. Não existe sistema formal que permita derivar todos os teoremas da aritmética Teorema da Incompletude de Gödel Sistema simbólico: codificável nos inteiros Provas no sistema: números inteiros Afirmações acerca de provas: afirmações acerca de inteiros Usando a linguagem de 1ª ordem dos inteiros: podem fazer-se afirmações acerca do que se pode provar. G- fórmula que diz de si própria que não é derivável G tem de ser verdadeira - não pode ser falsa num sistema coerente.