Matrizes Produto de Matrizes

Apresentação em tema: "Matrizes Produto de Matrizes"— Transcrição da apresentação:

1 Matrizes Produto de Matrizes Só será possível multiplicar uma matriz A pela matriz B se a matriz A tiver o número de colunas igual ao número de linhas da matriz B. Exemplo: A uma matriz 2 x 3 e B uma matriz 3 x 2 A = B = 2 x 3 3 x 2

2 Verifique se é possível proporcionar o produto:
Matrizes Verifique se é possível proporcionar o produto: A 3x4 ∙ B 4x2 AB 3x2 C 3x1 ∙ D 1x4 CD 3x4 NÃO E 2x2 ∙ F 4x2 G 2x5 ∙ H 5x2 GH 2x2 J 2x2 ∙ L 2x1 JL 2x1 NÃO M 3x2 ∙ N 3x2 A 2x4 ∙ B4x3 ∙ C3x1 ABC 2x1 G 3x3 G2 G2 3x3

3 A · B = C (2 x 3) (3 x 2) (2 x 2) 2 -2 2 -7 9 A = B = 0 3 1 3 7 1 0
Matrizes A = B = A · B = C (2 x 3) (3 x 2) (2 x 2)

4 Esquema prático: Matrizes C = 2 -7 9 (2·2) + (-7·0) + (9 ·1)
(2·2) + (-7·0) + (9 ·1) (2·-2) + (-7·3) + (9 ·0) A = (1·2) + (3·0) + (7·1) (1·-2) + (3·3) + (7·0) B =

5 Resultado do Produto: Matrizes (2·2) + (-7·0) + (9 ·1)
(2·-2) + (-7·3) + (9 ·0) C = (1·2) + (3·0) + (7·1) (1·-2) + (3·3) + (7·0) C = (- 21) + 0 13 9 C = - 25 7

6 1) A (B · C) = (A · B) · C 2) A · (B + C) = A·B + A·C
Matrizes Propriedades da MULTIPLICAÇÃO 1) A (B · C) = (A · B) · C 2) A · (B + C) = A·B + A·C 3) A · I = I · A = A 4) A · 0 = 0 · A = 0 Obs.: 1) Na multiplicação de matrizes geralmente A∙B  B∙A. Se A∙B = B∙A dizemos que A e B se comutam. 2) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja A∙B = 0 mesmo com A  0 e/ou B  0.

7 A · B = A∙B (m x n) (3 x p) (5 x 2) n = 3 m = 5 p = 2 Exemplo:
Matrizes Exemplo: Se a matriz A é do tipo m x n, a matriz B é do tipo 3 x p e a matriz A∙B é do tipo 5 x 2 calcule os valores de m, n, e p. A · B = A∙B (m x n) (3 x p) (5 x 2) n = 3 m = 5 p = 2

8 Exemplo: A = 2 1 4 3 B = 5 3 -1 0 a matriz X tal que A∙X = B A = 2 1
Matrizes Exemplo: A = B = a matriz X tal que A∙X = B A = 2∙a + 1∙(c) 2∙b + 1∙(d) 5 3 -1 = 4∙a + 3∙(c) 4∙b + 3∙(d) X = a b c d 2a + c = 5 4a + 3c = -1 2b + d = 3 4b + 3d = 0

9 Refazer o produto A∙X e verificar se realmente encontra a matriz B.
Matrizes X = a b c d 2b + d = 3 4b + 3d = 0 2b + d = 3 (-2) 2a + c = 5 4a + 3c = -1 2a + c = 5 (-2) -4a - 2c = -10 4a + 3c = -1 -4b - 2d = -6 4b + 3d = 0 + + X = /2 c = -11 d = -6 2a – 11 = 5 2b - 6 = 3 Refazer o produto A∙X e verificar se realmente encontra a matriz B. 2a = 16 2b = 9 a = 8 b = 9/2

10 Matrizes Exemplo: (UFSC) Sejam A = (aij) 4x3 e B = (bij) 3x4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A∙B = C, então o elemento C32 da matriz C, é: a13 a23 a33 A = a11 a12 a21 a22 a31 a32 a41 a42 a43 C = c11 c12 c21 c22 c31 c32 c13 c23 c33 c14 c24 c34 c41 c42 c43 c44 B = b11 b12 b21 b22 b31 b32 b13 b23 b33 b14 b24 b34

11 Matrizes Extra: 9 (UFSC) Sejam A = (aij) 4x3 e B = (bij) 3x4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A∙B = C, então o elemento C32 da matriz C, é: a12 a21 a22 a13 a23 a41 a42 a43 b11 b21 b31 b13 b23 b33 b14 b24 b34 c11 c12 c21 c22 c31 c13 c23 c33 c14 c24 c34 c41 c42 c43 c44 a11 A = C = a31 a32 a33 c32 b12 b22 B = b32

12 Matrizes Extra: 9 (UFSC) Sejam A = (aij) 4x3 e B = (bij) 3x4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A∙B = C, então o elemento C32 da matriz C, é: A = B = C = a31 a32 a33 c32 b12 b22 b32

13 Matrizes Exemplo: (UFSC) Sejam A = (aij) 4x3 e B = (bij) 3x4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A∙B = C, então o elemento C32 da matriz C, é: a31 a32 a33 c32 = 4∙4 + 5∙6 + 6∙8 94 b12 4 6 8 b22 b32