Estudo Dos Neydiwan Poliedros. Estudo Dos Neydiwan Poliedros.

Apresentação em tema: "Estudo Dos Neydiwan Poliedros. Estudo Dos Neydiwan Poliedros."— Transcrição da apresentação:

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2 Estudo Dos Neydiwan Poliedros

3 Poliedros Uma superfície poliédrica fechada é composta de um número finito (quatro ou mais) de superfícies poligonais planas, de modo que cada lado de uma dessas superfícies coincida com apenas um lado de alguma das outras superfícies. É uma superfície poliédrica fechada. Não é uma superfície poliédrica fechada.

4 Poliedros É chamado de poliedro o sólido geométrico formado pela reunião de uma superfície poliédrica fechada com todos os pontos do espaço delimitados por ela. Exemplos a) b) c)

5 Poliedros Poliedro convexo e poliedro não convexo
Se cada plano que contém uma face de um poliedro posiciona as demais faces em um mesmo semiespaço, então o poliedro é convexo; caso contrário, é não convexo (ou côncavo). 

6 Poliedros não convexos
Poliedro convexo e poliedro não convexo Exemplos Poliedros convexos Poliedros não convexos

7 Poliedros Elementos de um poliedro Nomenclatura de um poliedro edro
face aresta vértice Nomenclatura de um poliedro Poli edro “várias” “face”

8 Poliedros Nomenclatura de um poliedro Exemplos 6 faces 8 vértices
12 arestas a) hexaedro 12 faces 20 vértices 30 arestas b) dodecaedro

9 Nomes de poliedros estudados com maior frequência
Número de faces 4 6 8 12 20 Nome Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro Relação de Euler V + F – 2 = A número de vértices número de faces número de arestas

10 Poliedros Exemplos Poliedro V F A V + F V + F − 2 8 6 12 14 12 6 6 10
5 9 11 9

11 Poliedros Todo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler, mas nem sempre um poliedro que satisfaz essa relação é convexo.  Observe: V = 24 F = 14 A = 36 – 2 = 36 não convexo

12 Poliedros Poliedros de Platão
Um poliedro é chamado de poliedro de Platão se, e somente se:  é convexo e, portanto, satisfaz a relação de Euler.  todas as faces têm o mesmo número inteiro n de arestas. em todos os vértices concorre o mesmo número inteiro m de arestas.

13 Poliedros Exemplo Esse poliedro é de Platão, pois:
Todas as faces têm 4 arestas; em todos os vértices concorrem 3 arestas; É convexo. (8 + 6 – 2 = 12). a) b) Esse poliedro não é de Platão, pois: É convexo; Em todos os vértices concorra o mesmo número de arestas; Nem todas as faces têm o mesmo número de arestas.

14 Poliedros Poliedros regulares ou de Platão tetraedro regular hexaedro
regular (cubo) octaedro regular dodecaedro regular icosaedro regular

15 Exemplos Obter o número de arestas de um poliedro convexo que
tem 6 faces e 8 vértices.  Resolução Como a relação de Euler é válida para todos os poliedros convexos, temos:  V + F – 2 = A  A = – 2  A = 12  Portanto, esse poliedro convexo tem 12 arestas.

16 Exemplos Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces
triangulares e 5 faces quadradas? Resolução Número de faces do poliedro: = 9. As 4 faces triangulares têm 12 lados  (4  3) As 5 faces quadradas têm 20 lados  (5  4) Então, o número de arestas é: ( ) : 2 = 16. Assim, o poliedro tem 16 arestas e 9 faces. Logo: V + 9 – 2 = 16  V = 9. Portanto, esse poliedro tem 9 vértices.

17 Exercícios

18 Exercícios Questão 01 – O poliedro regular que possui 20 vértices, 30 arestas e 12 faces denomina-se: a) tetraedro b) icosaedro c) hexaedro d) dodecaedro e) octaedro Resolução O que determina o nome de um poliedro é a quantidade de faces que ele possui. Como o número de faces do poliedro é 12, então é um DODECAEDRO.

19 Exercícios Questão 02 – Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente: a) 8 e 8. b) 8 e 6. c) 6 e 8. d) 8 e 4. e) 6 e 6. Resolução Cada vértice do cubo determina uma face triangular. Logo, teremos 8 FACES triangulares. Cada face do cubo determina uma face quadrada. Logo, teremos 6 FACES quadradas.

20 Exercícios Questão 03 – Uma bola de futebol foi confeccionada utilizando-se 32 faces planas, sendo 20 hexagonais e 12 pentagonais. Considerando-se que a bola identifica-se com um poliedro assim construído, esse poliedro possui exatamente: Resolução a) 180 arestas b) 90 vértices c) 60 vértices d) 50 arestas e) 40 vértices Já temos 32 FACES, mas precisamos do número de arestas. Agora, podemos achar o número de vértices.

21 Exercícios Questão 04 – Um poliedro convexo tem 25 arestas e todas as suas faces pentagonais. Então o número de faces e de vértices do poliedro são respectivamente: a) 14 e 16 b) 12 e 14 c) 10 e 14 d) 10 e 12 e) 10 e 17 Resolução Vamos usar o mesmo raciocínio do cálculo das arestas. Agora, podemos achar o número de vértices.

22 Exercícios Questão 05 - (UFPR) Um prisma possui 17 faces, incluindo as faces laterais e as bases inferior e superior. Uma pirâmide cuja base é idêntica à base do prisma, possui quantas arestas? a) 26 b) 28 c) 30 d) 32 e) 34 Resolução 15 faces laterais 1 base inferior 1 base superior A pirâmide tem 16 faces.

23 Exercícios Questão 06 - (UNIFOR CE) Uma bola de futebol é um poliedro convexo formado por 20 faces hexagonais e 12 pentagonais, todas com lados congruentes entre si. Um torcedor fanático de um dos clubes cearenses de futebol encomendou a um artesão uma bola de futebol costurada a mão que contenha o símbolo de seu time costurado em cada vértice da bola. Para costurar essas faces lado a lado, formando a superfície do poliedro convexo, o artesão gasta 15 cm de linha em cada aresta do poliedro, e para costurar o símbolo do time num vértice, ele gastará 60 cm de linha. Quantos metros de linha são necessários para que o artesão conclua a encomenda? Resolução a) 48,3 b) 49,5 c) 53,4 d) 56,8 e) 59.2

24 Exercícios Questão 07 - (ENEM) Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces. Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu? Resolução a) 6 b) 8 c) 14 d) 24 e) 30 Cada vértice do cubo determina uma face triangular. Logo, teremos 8 FACES triangulares. Cada face do cubo determina uma face quadrada. Logo, teremos 6 FACES quadradas.

25 Exercícios Questão 08 - (UECE) Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices deste polígono é: a) 90 b) 72 c) 60 d) 56 e) 44 Resolução

26 Exercícios Questão 09 - (UEFS BA) Um tipo de bola de futebol é inspirado no icosaedro truncado, que é um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. O número de vértices desse poliedro é a) 40 b) 48 c) 60 d) 4 e) 76 Resolução

27 Qual é o total de arestas?
Exercícios Questão 10 - (IFSP) A figura mostra uma peça feita em 1587 por Stefano Buonsignori, e está exposta no Museu Galileo, em Florença, na Itália. Esse instrumento tem a forma de um dodecaedro regular e, em cada uma de suas faces pentagonais, há a gravação de um tipo diferente de relógio. Em 1758, o matemático Leonard Euler ( ) descobriu o teorema conhecido por relação de Euler: em todo poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, vale a relação V – A + F = 2. Ao se aplicar a relação de Euler no poliedro da figura, o número de arestas não visíveis é Resolução a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 18 São 20 arestas visíveis. Qual é o total de arestas?

28 Exercícios Questão 11 - (IBMEC SP) De cada vértice de um prisma hexagonal regular foi retirado um tetraedro, como exemplificado para um dos vértices do prisma desenhado a seguir. O plano que definiu cada corte feito para retirar os tetraedros passa pelos pontos médios das três arestas que concorrem num mesmo vértice do prisma. O número de faces do poliedro obtido depois de terem sido retirados todos os tetraedros é a) 24 b) 20 c) 18 d) 16 e) 12 Resolução Temos 12 vértices e em cada vértice teremos uma face triangular. Em cada base será formada uma figura hexagonal. Então, serão 2 faces. Em cada face lateral será formada uma figura quadrangular. Então, serão 6 faces.

29 Exercícios Questão 12 - (IFGO) Um poliedro é regular se suas faces são polígonos regulares congruentes e se seus ângulos poliédricos são todos congruentes. Analise as seguintes afirmações sobre poliedros regulares: I. Não há mais do que quatro poliedros regulares. II. Considere um cubo com um par de pirâmides regulares construídas sobre duas faces opostas tomadas como bases. Então, v – a + f = 2, onde v é a quantidade de vértice, a o número de arestas e f o número de faces. III. Para todo poliedro regular vale a relação v – a + f = 2, onde v é a quantidade de vértice, a o número de arestas e f o número de faces. Está(ão) correta(s): a) Somente a afirmação I. b) Apenas as afirmações II. c) Apenas as afirmações III. d) Apenas as afirmações I e II. e) Apenas as afirmações II e III.

30 Exercícios Não há mais do que quatro poliedros regulares.
(Falso)  São 5 poliedros de platão. II. Considere um cubo com um par de pirâmides regulares construídas sobre duas faces opostas tomadas como bases. Então, v – a + f = 2, onde v é a quantidade de vértice, a o número de arestas e f o número de faces. Se é um poliedro convexo, então vale a relação de Euler. (Verdadeiro)

31 Exercícios III. Para todo poliedro regular vale a relação v – a + f = 2, onde v é a quantidade de vértice, a o número de arestas e f o número de faces. Está(ão) correta(s): (Verdadeiro) a) Somente a afirmação I. b) Apenas as afirmações II. c) Apenas as afirmações III. d) Apenas as afirmações I e II. e) Apenas as afirmações II e III.