Programação Linear método simplex

Apresentação em tema: "Programação Linear método simplex"— Transcrição da apresentação:

1 Programação Linear método simplex

2 Exemplo Uma empresa pode fabricar dois produtos (1 e 2).
Na fabricação do produto 1 a empresa gasta nove horas-homem e três horas-máquina (a tecnologia utilizada é intensiva em mão-de-obra). Na fabricação do produto 2 a empresa gasta uma hora-homem e uma hora-máquina (a tecnologia é intensiva em capital). A empresa dispõe de 18 horas-homem e 12 horas-máquina para um período de produção. Sabe-se que os lucros líquidos dos produtos são $4 e $1 respectivamente.

3 Pergunta-se Quanto a empresa deve fabricar de cada produto para ter o maior lucro?

4 Transformando os dados em expressões matemáticas
A função lucro Não havendo economia de escala É claro que o lucro máximo seria ilimitado se não fosse a escassez de recursos. Em outros problemas a demanda do mercado também é um fator limitador.

5 O modelo do problema Função Objetivo Variáveis de Decisão
Limitações Matriz Tecnológica Conjunto das Possibilidades de Produção

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7 O Método SIMPLEX Algoritmo criado para se obter a solução algebricamente. Seqüência finita de passos que se seguidas levam ao objetivo procurado. É necessário conhecer o método para se interpretar melhor os resultados. Utiliza-se o exemplo que foi resolvido graficamente para se acompanhar os passos.

8 O Método SIMPLEX Se o conjunto de possibilidades fosse formado por igualdades seria mais fácil resolver o sistema que o forma. Pode-se acrescentar uma variável não negativas (para ficarem na forma padrão) a cada restrição do modelo padrão de tal forma que as desigualdades sejam sempre atingidas. Estas variáveis são chamadas de variáveis de folga.

9 O Método SIMPLEX As variáveis devem ser controladas ou seja, são escolhidas pelo decisor de tal forma a atingir a igualdade nas restrições. As variáveis de folga aumentam os graus de liberdade do sistema (infinitas soluções). O poder que se tem sobre as variáveis deve ser usado para atingir o objetivo procurado.

10 Voltando ao Primeiro Problema
Só para lembrar

11 O Método SIMPLEX No primeiro exemplo deve-se acrescentar duas variáveis de folga: Além disso tem-se que: E todas as variáveis devem ser maiores que zero

12 O Método SIMPLEX Forma-se então um sistema de equações lineares com dois graus de liberdade:forma canonica Qual a solução deste sistema?

13 L=0 x3=18 x4=12 O Método SIMPLEX
Uma solução imediata e que muitas vezes está disponível é a solução onde todas as variáveis originais são nulas e as de folga são iguais aos limites dos recursos. Esta solução é conhecida como solução trivial. No sistema esta solução tem características interessantes: solução L=0 x3=18 x4=12 As outras variáveis são nulas

14 O Método SIMPLEX As variáveis que são diferentes de zero, ou que têm seus valores definidos no lado direito do sistema são ditas estarem na base ou são chamadas de variáveis básicas. As que têm coeficientes não nulos na linha da função objetivo são conhecidas como variáveis não básicas ou variáveis que estão fora da base. são variáveis básicas X3 e x4 são variáveis não básicas X1 e x2

15 O Método SIMPLEX Qual o objetivo?
Como se deve usar o poder para impor valores às variáveis. Lembre-se você tem dois graus de liberdade, pode escolher os valores de até duas variáveis. Que variável fará seu lucro aumentar mais? Primeiramente deve-se expor o sistema de uma maneira mais adequada. Uma maneira que permita visualizar certas características.

16 O Método SIMPLEX A seguinte forma foi escolhida como a mais conveniente para se expor o método. Estes quadros são conhecidos como quadro simplex, este particularmente é o quadro simplex inicial. Entretanto primeiramente veremos o raciocínio depois a mecânica do método.

17 O Método SIMPLEX Observando o objetivo, de uma forma ou de outra, ver-se claramente que x1 (atualmente nula) aumentaria mais rapidamente o lucro se fosse posta na base. Como o objetivo é maximizar o lucro o ideal seria aumentar x1 até o infinito. Entretanto todas as outras restrições devem ser ainda satisfeitas na presença do máximo valor que x1 possa alcançar.

18 O Método SIMPLEX 18 9 12 3 Como deseja-se aumentar x1 o máximo possível, deve-se saber seus limites nas restrições. Na primeira restrição o limite de x1 é 2. Na segunda restrição o limite de x1 é 4. Como não se pode romper nenhuma das restrições, x1 deve ser no máximo 2. Como ficam as demais variáveis?

19 O Método SIMPLEX O limite de x1 ocorre na linha da primeira restrição.
Quando x1 atingir o valor de 2, x3 deverá ser nula para atender a restrição. x4 que era 12 deverá ser posta em 6 dado que 6 unidades da segunda restrição serão consumidas por x1 com valor 2. Desta forma x1 entrou na base e x3 saiu.

20 O Método SIMPLEX x1=2 ; x4 = 6; variáveis básicas.
A nova solução é: x1=2 ; x4 = 6; variáveis básicas. x3=0 ; x2 = 0; variáveis não básicas. L=8 Se, utilizando operações elementares, o sistema for posto na mesma forma, com relação às variáveis básicas e não básicas, será possível perceber se alguma variável (NB=0) poderá contribuir para aumentar o lucro. Isto é feito escalonando-se o sistema na coluna relativa a x1, deixando o coeficiente desta variável igual a 1 apenas na linha onde ela entrou (trocou valores com x3).

21 O Método SIMPLEX ÷9 Para se fazer o coeficiente igual a um deve-se dividir toda equação, na linha de entrada, por 9.

22 O Método SIMPLEX 4 x Multiplicando a nova linha de x1 por 4 e somando com a linha do lucro, zera-se o coeficiente de x1 naquela linha.

23 O Método SIMPLEX -3 x Multiplicando a nova linha de x1 por -3 e somando com a outra linha , zera-se o coeficiente de x1 naquela linha.

24 O Método SIMPLEX O sistema encontra-se agora como antes (com relação as VB e VNB) e pode-se decidir qual variável deve entrar na base para aumentar o lucro. A equação da função lucro pode ser escrita agora como: Claramente se x2 for aumentada o lucro aumentará.

25 O Método SIMPLEX 21/9 62/3 Deseja-se então aumentar ao máximo o valor de x2 sem romper nenhuma das restrições. Isto é feito como antes. Na primeira restrição x2 pode ser aumentada até 18 Na segunda restrição x2 pode ser aumentada até 9 Como as duas restrições devem ser atendidas, x2 entrará na linha onde x4 é a VB.

26 O Método SIMPLEX A nova solução será x2 = 9 , x4 = 0, x3=0 e x1 =1 o lucro será agora de 13. Claramente a solução é melhor que a anterior. Para decidir se existe alguma variável NB que aumentaria o lucro deve-se colocar o sistema novamente no formato inicial, com relação as variáveis básicas e não básicas.

27 O Método SIMPLEX O procedimento é semelhante, através de operações elementares colocar a variável x2 com coeficiente 1 na linha onde ela entrou e zero nas demais. Multiplique a linha onde x2 entrou por 3/2 para fazer seu coeficiente unitário.

28 O Método SIMPLEX Escalonando: multiplique a linha de x2 por -1/9 e some com a linha de x1.

29 O Método SIMPLEX Escalonando: multiplique a linha de x2 por 5/9 e some com a linha do lucro.

30 O Método SIMPLEX Note que agora nenhuma variável contribuiria para aumentar o lucro, isto caracteriza a solução ótima. Se este mesmo procedimento for delineado e automatizado constituirá um algoritmo para solução, o algoritmo SIMPLEX. Utilizando-se os quadros os passos ficaram mais fáceis de serem implementados

31 Exemplo 2 Max 3x1+3x2 S.a 2x1+4x2<=12 6x1+4x2<=24 X1;x2>=0

32 Solução do lindo: 13,5 x1=3; x2=1,5
Continuação do método Z=3x1+3x2 2x1+4x2+x3=12 6x1+4x2+x4=24 Introduzir as variáveis de folga

33 Colocar na forma canonica
Z-3x1-3x2+0x3+0x4=0 2x1+4x2+1x3+0x4=12 6x1+4x2+0x3+1x4=24 Solução trivial: X1=0, x2=0 variáveis não básicas X3=12, x4=24 variáveis básicas Z=0

34 Como aumentar o z? Se x1=6 na primeira linha Se x1=4 na segunda linha
Mas x1=6 não convém pois não atende as restrições colocadas, logo: X1=4, x3=4 vb X2=0, x4=0 vnb Solução z=12, x1=4, x2=0 Veja Z=3x1+3x2

35 Dizemos que: Quem entrou para ser básica? X1
Quem saiu de ser básica? X4 No método dizemos quem entra “ a mais negativa”, da forma canonica, quem sai” o menor resultado da divisão de b pelo coeficiente da variavel que escolhemos entrar(desde que o resultado seja positivo) Veja: 12/2= /6=4

36 Para contribuir na maximização utilizamos o escalonamento.
Vamos escalonar e perceber o raciocinio ocorrido no slide anterior em operações matemáticas.(podemos utilizar vnbou vb para aumentar z) -3x1-3x2=0 2x1+4x2+x3=12 6x1+4x2+x4=24 Quem entra, x1 quem sai x4

37 Linha pivo com coluna pivo= elemento pivo
L -3x1-3x2=0 2x1+4x2+x3=12 6x1+4x2+x4=24 Coluna 1, linha 3, elemento pivo 6x1. Temos que deixar com coeficiente 1, para ser mais rápido os calculos. Basta : a linha 3 por 6.

38 Linha pivo mudada L -3x1-3x2=0 2x1+4x2+x3=0 X1+2/3x2+1/6x4=4
Escalonando o sistema, olhando pra coluna de x1. Z-0x1-1x2+1/2x4=12 0x1+8/3x2+x3+2/3x4=4

39 Analisando o sistema X1=4, x2=0, x4=0 x3=4 L= x2-1/2x4+12
Função maximo. X2 ainda pode contribuir.

40 Entra a coluna 2, ié de x2 para base
Quem sai? X4. Z-0x1-1x2+1/2x4=12 0x1+8/3x2+x3+2/3x4=4 X1+2/3x2+1/6x4=4 4: (8/3)=12/8=1,5 4: (2/3)=6 Logo quem sai é x4 uso o máximo que tenho que é 4.

41 Já teria a resposta. X2=1,5 X1=3 X3=0 X4=0 Z=x2-1/2x4+12 Z=13,5
Solução apresentada pelo lindo

42 No método. Buscar o elemento pivo
Coluna 2 linha linha 2, elemento pivo 2/3x2. Transformar em coeficiente 1. Escalonar. Ficará: L-3/8x3+6/4x4=13,5 1x2+3/8x3+2/8x4=12/8 x1-6/24x3=3 L=3/8x3+6/4x4+13,5 não tem como contribuir para aumentar o lucro. Então fim. Logo z=13,5 x1=3 x2=12/8