Integração Numérica Integração Numérica

Apresentação em tema: "Integração Numérica Integração Numérica"— Transcrição da apresentação:

1 Integração Numérica Integração Numérica
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Integração Numérica

2 Universidade Federal Fluminense
Integração Numérica O objetivo da integração numérica (também denominada quadratura numérica) é obter uma aproximação para integrais definidas (com limites de integração finito ou não), singulares e múltiplas de funções reais. A utilização de técnicas numéricas para avaliar integrais é de grande valia quando: não conhecemos a expressão da lei da função integrando, somente valores dessa função em pontos do domínio de integração; o cálculo da função primitiva é trabalhoso e complexo.

3 1 Integração Numérica sobre um Intervalo Finito
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica 1 Integração Numérica sobre um Intervalo Finito 1.1 Integração de Função de uma Variável As fórmulas de integração numérica são construídas a partir do seguinte problema: encontrar n+1 pesos wi e n+1 pontos de integração xi tais que o erro de truncamento En( f ) se anule se f por um polinômio de grau menor ou igual a um certo número natural m peso ponto de integração erro de truncamento aproximação

4 1.1.1 Fórmulas de Newton-Cotes
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica 1.1.1 Fórmulas de Newton-Cotes As formulas de Newton-Cotes são obtidas escolhendo-se os pontos de integração eqüidistantes no intervalo de integração, [a,b], ou seja (h denota a distância entre os pontos), e determinando-se os pesos da integração, wi, pela integração do polinômio de interpolação de f nos pontos limite superior de integração limite inferior de integração Formulas de Newton-Cotes fechadas: Formulas de Newton-Cotes abertas:

5 Integração Numérica Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas Regra do Trapézio Simples (ou Regra Trapezoidal Simples) Qual o valor de w0 e de w1 ? na qual Verificar que:

6 Integração Numérica Regra do Trapézio Simples: Exemplo 1:
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Regra do Trapézio Simples: Exemplo 1: Estimar o valor da integral usando a regra do trapézio simples.

7 Sob as hipóteses do teorema anterior
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Teorema 1: Erro da regra do trapézio simples Se f é 2 vezes diferenciável em [a,b] e f ’’ é contínua em [a,b], então derivada de ordem 2 de f na qual Corolário 1: Sob as hipóteses do teorema anterior derivada de ordem 2 de f na qual

8 Integração Numérica Exemplo 2: Estimar o erro cometido no Exemplo 1.
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Exemplo 2: Estimar o erro cometido no Exemplo 1. OBS:

9 Regra do Trapézio Repetida
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Regra do Trapézio Repetida Usando a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida obtém-se: Utilizando a regra do trapézio simples obtém-se: e e portanto

10 Regra do trapézio repetida 2 vezes !!
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica ou seja, Regra do trapézio repetida 2 vezes !!

11 Universidade Federal Fluminense
Integração Numérica Vamos generalizar este procedimento. Suponha que pretendemos aplicar a regra do trapézio repetida m vezes para calcular uma aproximação da integral da função f no intervalo [a,b]. Primeiro passo: segmentar o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi, xi+1], com i=0, 1,..., m-1, com comprimentos iguais a h, sendo Segundo passo: utilizar a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida para decompor a integral original na seguinte soma:

12 Universidade Federal Fluminense
Integração Numérica Terceiro passo: usar a regra do trapézio simples para aproximar a integral da função f no intervalo [xi, xi+1], ou seja, Quarto passo: substituir a integral do somatório apresentado no segunda passo pela aproximação obtida no terceiro passo, isto é, ou seja,

13 Integração Numérica Exemplo 3: Estimar o valor da integral
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Exemplo 3: Estimar o valor da integral usando a regra do trapézio repetida 10 vezes.

14 na qual m é o número de vezes que a regra é repetida, e
Universidade Federal Fluminense Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Integração Numérica Teorema 2: Erro da regra do trapézio repetida Se f é 2 vezes diferenciável em [a,b] e f ’’ é contínua em [a,b], então derivada de ordem 2 de f na qual m é o número de vezes que a regra é repetida, e Corolário 2: Sob as hipóteses do teorema anterior na qual derivada de ordem 2 de f

15 Integração Numérica Exemplo 4: Estimar o erro cometido no Exemplo 3.
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Exemplo 4: Estimar o erro cometido no Exemplo 3. OBS:

16 Regra 1/3 de Simpson Simples
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Regra 1/3 de Simpson Simples Qual o valor de w0, de w1 e de w2 ? Verificar quer:

17 Integração Numérica Regra 1/3 de Simpson Simples: Exemplo 5:
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Regra 1/3 de Simpson Simples: Exemplo 5: Estimar o valor da integral usando a regra 1/3 de Simpson simples.

18 Sob as hipóteses do teorema anterior
Universidade Federal Fluminense Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Teorema 3: Erro da regra 1/3 de Simpson simples Se f é 4 vezes diferenciável em [a,b] e f iv é contínua em [a,b], então derivada de ordem 4 de f na qual Corolário 3: Sob as hipóteses do teorema anterior derivada de ordem 4 de f na qual

19 Integração Numérica Exemplo 6: Estimar o erro cometido no Exemplo 5.
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Exemplo 6: Estimar o erro cometido no Exemplo 5. OBS:

20 Regra 1/3 de Simpson Repetida
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Regra 1/3 de Simpson Repetida Usando a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida obtém-se: Utilizando a regra 1/3 de Simpson simples obtém-se: e e portanto

21 Regra 1/3 de Simpson repetida 2 vezes !!
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica ou seja, Regra 1/3 de Simpson repetida 2 vezes !!

22 Universidade Federal Fluminense
Integração Numérica Vamos generalizar este procedimento. Suponha que pretendemos aplicar a regra 1/3 de Simpson repetida m vezes para calcular uma aproximação da integral da função f no intervalo [a,b]. Primeiro passo: segmentar o intervalo [a,b] em 2m subintervalos [xi, xi+1], com i=0, 1,..., 2m-1, com comprimentos iguais a h, sendo Segundo passo: utilizar a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida para decompor a integral original na seguinte soma:

23 Universidade Federal Fluminense
Integração Numérica Terceiro passo: usar a regra 1/3 de Simpson simples para aproximar a integral da função f no intervalo [x2k-2, x2k], ou seja, Quarto passo: substituir a integral do somatório apresentado no segunda passo pela aproximação obtida no terceiro passo, isto é, ou seja,

24 Integração Numérica Exemplo 7:
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Exemplo 7: Estimar o valor da integral usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3 vezes.

25 na qual m é o número de vezes que a regra é repetida, e
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Teorema 4: Erro da regra 1/3 de Simpson repetida Se f é 4 vezes diferenciável em [a,b] e f iv é contínua em [a,b], então na qual m é o número de vezes que a regra é repetida, e derivada de ordem 4 de f Corolário 4: Sob as hipóteses do teorema anterior derivada de ordem 4 de f na qual

26 1.1.2 Quadratura Gaussiana Integração Numérica
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica 1.1.2 Quadratura Gaussiana Os pontos e os pesos de integração da quadratura Gaussiana de p pontos são calculados para que na qual é uma função polinomial arbitrária de grau 2p-1 ou menor. Por exemplo, os pontos e os pesos de integração da quadratura Gaussiana de 2 pontos devem verificar a seguinte igualdade para todos

27 Universidade Federal Fluminense
Integração Numérica Colocando em evidência os obtém-se a seguinte igualdade, equivalente a anterior: para todos Logo,

28 Integração Numérica OBS:
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica OBS: Os pontos e pesos de integração das quadraturas Gaussianas são determinados a partir de polinômios de Legendre, sem a necessidade de se resolver sistemas de equações não-lineares.

29 Universidade Federal Fluminense
Integração Numérica Como proceder quando os limites de integração não são -1 e 1 ? Usar a seguinte mudança de variável na integral: na qual a e b são, respectivamente, o limite inferior e superior de integração. Logo, e portanto

30 Integração Numérica Exemplo 8:
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Exemplo 8: Estimar o valor da integral usando a quadratura Gaussiana de 2 pontos. Temos que: Logo,

31 Se é 2p vezes diferenciável em [-1,1] e é contínua em [-1,1], então
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Teorema 5: Erro da quadratura Gaussiana Se é 2p vezes diferenciável em [-1,1] e é contínua em [-1,1], então derivada de ordem 2p na qual Corolário 5: Sob as hipóteses do teorema anterior derivada de ordem 2p na qual

32 Integração Numérica Exemplo 9: Estimar o erro cometido no Exemplo 8.
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Exemplo 9: Estimar o erro cometido no Exemplo 8. OBS:

33 Regra do Trapézio Simples para Integral Dupla
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica 1.2 Integração de Função de mais de uma Variável Regra do Trapézio Simples para Integral Dupla Notamos que: Mas Portanto

34 Regra do Trapézio Repetida para Integral Dupla
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Regra do Trapézio Repetida para Integral Dupla

35 Regra 1/3 de Simpson Simples para Integral Dupla
Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Regra 1/3 de Simpson Simples para Integral Dupla Notamos que: Mas

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Integração Numérica Portanto

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Integração Numérica