Álgebra Linear e Geometria Analítica

Apresentação em tema: "Álgebra Linear e Geometria Analítica"— Transcrição da apresentação:

1 Álgebra Linear e Geometria Analítica
11ª aula

2 Rectas no plano, no espaço e em n Planos no espaço e em n

3 Em geometria euclidiana:

4 Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta

5 Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta ou 1 ponto e a direcção da recta

6 Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta ou 1 ponto e a direcção da recta ou seja: 1 ponto + 1 vector

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8 (u1+v1, u2+v2) (v1,v2) (u1,u2)

9 (4,6) (u1+v1, u2+v2) (v1,v2) (-3,2) (u1,u2)

10 (4,6) u=(7,4) (-3,2)

11 Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?

12 Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam os pontos da recta e só esses.

13 (ku1,ku2) (u1,u2) u

14 (ku1,ku2) u (u1,u2) u u

15 Como encontrar a tal condição?
Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector

16 Como encontrar a tal condição?
Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector P = (x, y) ponto geral da recta

17 Como encontrar a tal condição?
Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector P = (x, y) ponto geral da recta P = A +  u

18 Como encontrar a tal condição?
Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector P = (x, y) ponto geral da recta P = A +  u (x, y) = (-3, 2) +  (7, 4)

19 Como encontrar a tal condição?
P = A +  u (x, y) = (-3, 2) +  (7, 4) equação vectorial equações paramétricas

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23 Como encontrar a tal condição?
Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector P = (x, y) ponto geral da recta

24 Como encontrar a tal condição?
Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector P = (x, y) ponto geral da recta Equação Cartesiana

25 Observemos: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector

26 Observemos: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector

27 Observemos: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector

28 Equação geral da recta no plano:

29 Em geral: A = (a1, a2) ponto u = (u1, u2) vector (x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)

30 Em geral: A = (a1, a2) ponto u = (u1, u2) vector (x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)

31 Em geral: A = (a1, a2) ponto u = (u1, u2) vector (x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)

32 Em geral: A = (a1, a2) ponto u = (u1, u2) vector (x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)

33 Em geral: A = (a1, a2) ponto u = (u1, u2) vector (x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)

34 Em geral: A = (a1, a2) ponto u = (u1, u2) vector (x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2) Equação reduzida

35 Equação reduzida: Diz-se que temos uma equação reduzida da recta no plano se tivermos uma equação do tipo: y = m x + h

36 Equação reduzida: Diz-se que temos uma equação reduzida da recta no plano se tivermos uma equação do tipo: y = m x + h

37 u2  u1

38 u2  u1

39 Declive da recta: A chama-se declive da recta

40 Declive da recta: y = m x + h m declive h ordenada na origem
A chama-se declive da recta y = m x + h m declive h ordenada na origem

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42 Declive da recta: A chama-se declive da recta
Rectas paralelas têm o mesmo declive

43 -2x + y = 1 -2x + y = 6 -2x + y = -1 -2x + y = -4

44 Rectas ortogonais: A recta L definida por { A +  u } é ortogonal à recta L’ definida por { B +  v } se os vectores u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0

45 y = 2x + 2

46 Rectas ortogonais: Supor que: L definida por { A +  u } tem equação reduzida y = m x + h L’ definida por { B +  v } tem equação reduzida y = m’ x + h’ Se as rectas são ortogonais qual a relação entre m e m’?

47 Recta L: Recta L’:

48 Recta L: Recta L’:

49 Recta L: Recta L’:

50 Recta L: Recta L’:

51 Ângulo de duas rectas: O ângulo de duas rectas é igual ao ângulo entre os vectores que definem as rectas

52 Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser: Paralelas Coincidentes Concorrentes: Perpendiculares Oblíquas

53 Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?

54 Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?

55 Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?

56 1º caso: sistema possível e determinado: as rectas são concorrentes
2º caso: sistema impossível: as rectas são paralelas 3º caso: sistema indeterminado: as rectas são coincidentes

57 Distância de um ponto a uma recta

58 Distância de um ponto a uma recta
Exemplo

59 Equação da recta: Equação geral da família de rectas perpendiculares à recta: Equação da recta perpendicular à recta dada que passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17

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63 Outra forma de calcular a distância:
Encontrar um vector n normal à recta Considerar um ponto P sobre a recta Considerar o vector AP Fazer a projecção de AP sobre n.

64 Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de equação ax + by + c = 0

65 Rectas em 3 Para definir uma recta são necessários: 2 pontos ou
1 ponto e 1vector

66 L’ = {P + u} P + u P L = {0 + u} u

67 Equações de rectas no espaço:
L = {P + u} com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)

68 Equações de rectas no espaço:
L = {P + u} com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)

69 Equações de rectas no espaço:
L = {P + u} com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)

70 Planos em 3 Para definir um plano são necessários:
3 pontos não colineares ou 1 ponto e 2 vectores linearmente independentes 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano

71 Planos em 3 Um plano M é um conjunto de pontos da forma: em que P é um ponto e u e v são vectores linearmente independentes.

72 Exemplo Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

73 Exemplo Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4) (x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)

74 Exemplo Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4) (x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)

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78 Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

79 Exemplo Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4) 1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao plano

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85 Distância de um ponto a um plano:
Q ponto que não pertence ao plano

86 Distância de um ponto a um plano:
Q ponto que não pertence ao plano n vector ortogonal ao plano

87 Distância de um ponto a um plano:
Q ponto que não pertence ao plano n vector ortogonal ao plano

88 Distância de um ponto a um plano:
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0

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90 Q n P

91 Q n P

92 Q n P

93 Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre os vectores ortogonais aos planos

94 Posição relativa de dois planos:
A intersecção de dois planos não paralelos é uma recta Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia ou são coincidentes

95 Posição relativa de dois planos:
A intersecção de dois planos não paralelos é uma recta Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia ou são coincidentes Planos paralelos têm o mesmo vector ortogonal. Dois planos paralelos são coincidentes se um ponto de um dos planos pertencer ao outro.

96 Planos paralelos: ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são paralelos o vector normal é n = (a, b, c)

97 Planos paralelos: ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são paralelos o vector normal é n = (a, b, c) A distância entre os dois planos paralelos é dada por

98 Ângulos entre rectas e planos:
Define-se o ângulo entre uma recta e um plano através do ângulo entre um vector com a direcção da recta e um vector normal ao plano.

99 Ângulos entre rectas e planos:
Define-se o ângulo entre uma recta e um plano através do ângulo entre um vector com a direcção da recta e um vector normal ao plano. Qual a relação entre estes ângulos?