Recordando o princípio da Indução...

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1 Recordando o princípio da Indução...
Seja: É fácil ver que:

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3 Com base nos resultados obtidos, afirmamos que, para todo número natural n,

4 A seqüência de Fibonacci e o problema dos coelhos
Autor do 1º livro sobre Ábaco, em 1202 que contém grande parte do conhecimento aritmético e algébrico da época. Teve grande influência no desenvolvimento da Matemática; formulou e resolveu o seguinte problema:

5 Os coelhos se reproduzem rapidamente
Os coelhos se reproduzem rapidamente. Admitimos que um par de coelhos adultos produza um casal de coelhos jovens, todo mês, e que os coelhos recém-nascidos se tornem adultos em dois meses e produzam, por sua vez, nessa época, um casal de coelhos. Começando com um casal jovem, de que tamanho estará a colônia após certo número de meses?

6 Se começarmos com um casal recém-nascido, durante os dois primeiros meses teremos apenas esse casal.
No terceiro mês nasce um novo casal, de modo que agora teremos dois casais. No quarto mês o casal original produziu outro par, existindo então três casais. Um mês mais tarde, tanto o par original quanto o primeiro casal nascido produziram novos casais, de forma que agora existem dois casais adultos e três casais jovens.

7 Os dados podem ser colocados em uma tabela do tipo:
Crescimento de uma colônia de coelhos meses Casais adultos Casais jovens total 1 2 3 4 5 6 8 7 5 8 13

8 O Teorema Fundamental da Aritmética
Os números primos e o princípio da indução são ferramentas para demonstrar o TFA. A importância dos primos se deve ao fato que todo número inteiro pode ser construído multiplicativamente a partir deles: com efeito, se um número não é primo podemos decompô-lo até seus fatores sejam todos primos. Por ex:

9 360 = = = = Assumiremos que uma decomposição de um número primo p é dada por ele mesmo ou pelo produto : p.1 RECORDANDO

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12 Matematicamente... P = n2 - 1

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14 Corolário: Se um número primo divide o produto de certos inteiros, então ele divide pelo menos um destes inteiros. Um corolário é uma decorrência imediata de um teorema. Exemplo: O comprimento da diagonal de um quadrado cujo lado possui comprimento "a" é dado por a . Isto é um corolário do teorema de Pitágoras

15 O Teorema Fundamental da Aritmética
TFA: Todo número inteiro positivo n pode ser escrito de forma única como um produto de primos (diferindo apenas pela ordem), ou seja, n = p1 . p p t onde p1 ≥ p2 ≥... ≥ pt são números primos. Formalmente podemos definir:Todo número natural n≥2 pode ser escrito como um produto de números primos. Essa decomposição, é única a menos da ordem dos fatores.

16 Demonstração: Vamos mostrar a existência da fatoração em primos usando uma variação da demonstração por indução: Suponhamos a afirmação verdadeira para todo número m ≥ 2 e m ≤ k Provemos que P(k+1) é verdadeira. Se k+1 for primo então P(k+1) é verdadeira. Se k+1 não for um número primo, então k+1 pode ser escrito como: k+1 = a.b em que 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k

17 Então pela hipotese da indução ou a e b podem ser escritos por um produtos de primos ou são números primos. Logo k+1 = a.b é tb um produto de primos! A saber:o produto dos números primos da fatoração de a multiplicados pelos primos da fatoração de b Assim provamos que todo natural k >1 pode ser decomposto como produto de fatores primos! ! !.

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