Escolha sob Incerteza Prof. João Manoel Pinho de Mello

Apresentação em tema: "Escolha sob Incerteza Prof. João Manoel Pinho de Mello"— Transcrição da apresentação:

1 Escolha sob Incerteza Prof. João Manoel Pinho de Mello
Depto. de Economia, PUC-Rio Agosto, 2006

2 Referência: capítulo 12, Varian

3 Consumo contingente O consumo não é certo
Dependendo do estado da natureza (da contingência), o consumo é diferente O consumidor enfrenta uma distribuição de probabilidade Teoria do consumidor normal: Consumidores escolhem cestas de bens Teoria do Escolha sob Incerteza: Consumidores escolhem loterias, ou distribuições de probabilidade

4 Os conceitos Loterias Utilidade esperada Atitude frente ao risco
Mensuração de aversão ao risco

5 Loterias

6 Exemplo Você tem R$10.000 Sai cara (com probabilidade ½) você perde R$ 5.000 Sai coroa (com probabilidade ½) você não perde os R$5.000 Se você pagar R$1.000, você diminui a chance de coroa para ⅛ Loteria 1: ( e ½ ;5.000 e ½) Loteria 2: (8.000 e ⅞;3.000 e ⅛) Qual você prefere?

7 Jargão Loteria = distribuição de probabilidade Estados da natureza
Cara Coroa Consumo contingente Na loteria 1, o consumo é 10,000 contingente a sair cara Na loteria 2, o consumo é 5,000 contingente a sair coroa

8 Outro exemplo Você tem R$ , sendo que destes K reais estão na forma de um carro Com probabilidade p  (0,1), o carro é roubado Mas você pode fazer um seguro, pagando  reais Loteria 1 (comprando seguro) ( – , 1; – , 1) Já sei, é uma loteria meio boba, que se chama de degenerada Loteria 2 (sem seguro) ( – K, p; , 1 - p)

9 Outro exemplo Estados da natureza Consumo contingentes

10 Seguro e transferência de consumo
Suponha agora que você pode comprar unidades de consumo, por  por unidade de seguro comprado O seguro permite transferir consumo do estado da natureza “não roubo” para o estado da natureza “roubo” Seja CR o consumo quando há roubo e CNR o consumo quando não há roubo Seja S a quantidade de seguro comprada Imagine que K =

11 Seguro e transferência de consumo
Comprando seguro (CR = – K – S + S ; CNR = –S) Sem comprar seguro (dotação inicial) (CR = – K ; CNR = ) CNR Vender seguro Dotação inicial 100 Cesta de compra S de seguro 100 - S 65 65 + (1 - )S CR

12 Seguro e transferência de consumo
Seja θ a inclinação da linha Pense em consumo no estado não roubo (CNR) e no estado roubo (CNR) como dois bens quaisquer. Pense em como o preço relativo

13 Seguro e transferência de consumo
Aí temos uma restrição orçamentária igual ao que tínhamos na Teoria do Consumidor normal Nos falta Uma teoria razoável de preferência a respeito de diferentes teorias Colocar as curvas de indiferença Dizer algo sobre como este preço relativo aparece

14 Teoria da Utilidade Esperada

15 Preferência a respeito de loterias
Missão: “colocar as curvas de indiferença” Em Teoria do Consumidor normal, geralmente pensávamos que preferências razoáveis seriam: Crescentes nas quantidades de cada bem Mas à taxas decrescentes Agora vamos impor mais estrutura Quer dizer: exigir mais coisas de uma preferência razoável

16 Utilidade esperada: idéias gerais
A cesta de bens é o consumo contingente em cada estado da natureza: (C1, C2) Probabilidades dos estados da natureza: π1 e π2, que somam 1 Gostaríamos que nossa teoria (modelo) para escolha sob incerteza tivesse as seguintes características: Eu valorizo mais consumo em estados mais prováveis Eu gostaria de muito consumo em um estado improvável para abrir mão de um pouco de consumo em um estado provável Minha atitude frente ao risco seja facilmente caracterizável a partir de minhas preferências

17 Preferências sobre loterias: o modelo geral
Dois estados da natureza, mutuamente exclusivos e exaustivos: 1 e 2 Consumo contingente: (C1, C2) Probabilidades: π1 e π2, π1 + π2 = 1 Utilidade, formato geral: Consumo contingente, os bens probabilidades, os parâmetros

18 Exemplos de preferências

19 Utilidade esperada Preferências sobre loterias estão na forma de utilidade esperada se são a soma ponderada (pelas probabilidades) da utilidade do consumo contingente, que é dada pela função u(•) Também chamada de utilidade de von Neumann-Morgenstern A função u(•) é chamada de utilidade de Bernoulli

20 Utilidade esperada: forma versus representação
Preferências representam preferências de utilidade esperada se podem ser transformadas para a forma de utilidade esperada através de transformações monótonas Mas representa preferências de utilidade esperada porque pode ser transformada na forma de utilidade esperada por transformações monótonas (em realidade só uma é necessária) está na forma de utilidade esperada não está na forma de utilidade esperada

21 Utilidade esperada: forma versus representação
Exemplos: Representa utilidade esperada? Está na forma de utilidade esperada? Está na forma de utilidade esperada? Representa utilidade esperada?

22 Utilidade esperada: bom modelo?
Para estar na forma de utilidade esperada é crucial que Seja separável nos consumos nos estados da natureza Utilidade do consumo se chove não depende da quantidade de consumo se faz sol O que não ocorreu não importa Chove, faz sol ou vai para SP no fim de semana Café, açúcar e água Chama-se isto de suposição de independência Que a função u seja a mesma Suponha eventos equiprováveis A utilidade de consumir se faz sol é igual à utilidade de consumir se chove Utilidade dependente do estado

23 Atitude frente ao risco

24 Você gosta de risco? Alguém tem uma moeda justa que:
Se sai cara, você ganha Se sai coroa: você não ganha nada Quanto você estaria disposto a pagar pelo direito de jogar esta moeda? O que você prefere? Uma moeda justa que paga 0 com probabilidade ½, e reais com probabilidade ½ Uma moeda justa que paga com probabilidade ½, e reais com probabilidade ½

25 Utilidade da média versus média das utilidades
Loteria: 0 com probabilidade ½, com probabilidade ½ Suponha que: Então o agente é dito avessa ao risco Utilidade da média, ou utilidade esperada de uma loteria que paga com certeza Utilidade média (ou esperada)

26 u(5.000) = utilidade da média
Aversão ao risco Utils u(·) u(5.000) = utilidade da média Função de Bernoulli ½u(0) + ½u(10.000) Utilidade média 5.000 10.000 $

27 u(5.000) = utilidade da média
Amor ao risco Utils u(·) Utilidade média Função de Bernoulli ½u(0) + ½u(10.000) u(5.000) = utilidade da média 5.000 10.000 $

28 Neutralidade ao risco Utils u(·) Função de Bernoulli $ 5.000 10.000
½u(0) + ½u(10.000) 5.000 10.000 $

29 Resumo Se a utilidade de Bernoulli u(·) é côncava (u’’ < 0), então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = ln(c), u(c) = c½ Se a utilidade de Bernoulli u(·) é convexa (u’’ > 0), então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = exp(c), u(c) = c2 Se a utilidade de Bernoulli u(·) é linear (u’’ = 0), então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = c, u(c) = 10+34c

30 Exemplo: demanda por seguro
Exemplo anterior: patrimônio, em um carro, que é roubado com probabilidade p Pode comprar seguro por γ por unidade segurada Problema: quanto segurar (S)

31 Exemplo: demanda por seguro
CPO Suponha que o seguro seja “atuarialmente” justo, ou seja, p = γ. Isto implica que a CPO se reduz a

32 Exemplo: demanda por seguro
Suponha que u’’ < 0 (agente avesso ao risco) Então u’ é decrescente Para que é preciso que 65 + (1 – γ)S = 100 – γS Ou seja, S = 35 O que isto significa?

33 Exemplo: demanda por seguro
Checando a condição de 2ª ordem O que ocorreria se u´´ > 0, ou seja, se o agente é amante do risco?

34 Mensuração da aversão ao risco

35 Aversão ao risco Na maioria esmagadora das situações imaginamos que os agentes não gostam de risco Geralmente os agentes “neutros” ao risco o são porque em realidade não enfrentam risco Seguradoras e a Lei dos Grandes Números

36 Quanto? u’’ nos diz que o agente é avesso ao risco Curvatura de u
Mas quanto? Curvatura de u Os coeficientes de aversão relativa e absoluta ao risco Equivalente em certeza Prêmio de risco

37 Equivalente em certeza
Suponha que você tem uma loteria que paga: K1 com probabilidade p K2 com probabilidade 1 – p K1 > K2 > 0 O equivalente em certeza é

38 Equivalente em certeza
Se E < pK1 + (1 – p)K2, então o agente é avesso ao risco Se dois agentes i e j têm equivalentes em certeza tais que Ei < Ej diz-se que i é mais avesso ao risco que j O equivalente em certeza é quanto você está disposto a abrir mão de média para evitar o risco A idéia pode ser generalizada para qualquer loteria L

39 Equivalente em certeza
Utils u(·) Função de Bernoulli ½u(0) + ½u(10.000) E 5.000 10.000 $ Equivalente em certeza