Cap. 4 – Equações básicas na forma integral para volumes de controle

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1 Cap. 4 – Equações básicas na forma integral para volumes de controle
4.1 – Equações para sistema 4.2 – Relação entre as equações para sistema e a formulação para VC 4.3 – Conservação da massa para volume de controle 4.4 – Conservação da Quantidade de movimento para VC inercial 4.5 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração retilínea 4.6 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração arbitrária 4.7 – Quantidade de movimento angular 4.8 – Conservação da Energia

2 4.1 – Equações para sistema
4.1.1 – Conservação da massa: (sem reações químicas) 4.1.2 – Conservação da quantidade de movimento (Segunda lei de Newton): (Força resultante) (Quantidade de movimento) (Torque resultante) 4.1.3 – Conservação da quantidade de movimento angular (Segunda lei de Newton-sistemas em rotação): (Quantidade de movimento angular) 4.1.4 – Conservação da energia (Primeira lei da termodinâmica): (Energia total)

3 4.2 – Relação entre as equações para sistema e a formulação para volume de controle
Propriedade Extensiva - N Propriedade Intensiva - Massa Quantidade de movimento Quantidade de movimento angular Energia

4 Teorema de Transporte de Reynolds
taxa de variação da propriedade N para sistemas taxa de variação da propriedade N no volume de controle fluxo da propriedade N através da superfície de controle

5 4.3 – Conservação da massa para volume de controle
taxa de variação da massa para sistemas é zero taxa de variação da massa no volume de controle fluxo de massa através da superfície de controle

6 ( uma entrada / uma saída ):
Equação da Conservação da massa Velocidade paralela ao vetor área (sempre para o exterior do V.C.): saídas entradas Escoamento uniforme ( uma entrada / uma saída ):

7 A2 = 50 cm2 V2 = 5 m/s Exemplo 4.1: Calcule a velocidade média na seção 4 do misturador da figura: 2 1 3 A1 = 25 cm2 V1 = 2 m/s A3 = 50 cm2 V3 = 10 m/s em regime permanente e escoamento uniforme: 4 A4 = 25 cm2 V4 = ? Valor negativo implica que a direção é contrária a dir. suposta inicialmente.

8 Exemplo 4.2: Calcule a vazão em volume e a velocidade média na seção da tubulação da figura, sendo que o perfil de velocidades é parabólico, umáx = 1 m/s e R = 1 m. escoamento uni-dimensional perfil de velocidades parabólico vazão em volume

9  = 62,4 [lb/ft3] Exemplo 4.3: Esboçar graficamente a variação da altura de líquido com o tempo no tanque da figura. A=3 [ft2] 1 [lb] = 0,453 [kg] 1[ft] = 0,3048 [m] A=0,279 [m2]  = 998 [kg/m3] L [ft] L[m] t[s]

10 Exemplo: Considerando o conceito de camada-limite, modelo de escoamento próximo a uma placa plana onde o perfil da velocidade na direção x é dado pela equação u=f(y,d), determine a vazão em massa através da superfície bc do volume de controle mostrado na figura, sendo que a largura da placa, W, é 0,6 [m]. U a b c d d = 5 [mm] perfil da velocidade na camada Eq. da conservação da massa (regime permanente) Conservação da massa aplicada ao VC abcd

11 a b c d d = 5 [mm] U

12 4.4 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle inercial
Exemplo típico: Curva de 90o Mudança de quantidade de movimento do escoamento de para através da aplicação da força externa

13 taxa de variação da quantidade de movimento no volume de controle
Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle inercial taxa de variação da quantidade de movimento para sistemas é igual a força externa aplicada (soma das forças de campo e de superfície) taxa de variação da quantidade de movimento no volume de controle fluxo da quantidade de movimento através da superfície de controle

14 Exemplo 4.4: Calcular a força de reação que atua sobre o anteparo devido ao jato de d´água com vazão em massa de 1 kg/s e velocidade de 1 m/s. Equação da Quant. de Mov. Em regime permanente o termo da taxa de variação da quantidade de mov. no VC é zero Injetor Base do anteparo V1 r z V2 Desprezando a força peso:

15 Injetor V1 r z V2 Sobre o fluido Sobre o anteparo

16 Exemplo 4.5: Calcular a força que atua sobre a estrutura curva, que descarrega água na atmosfera, para mantê-la fixa, considerando os seguintes dados: p1 = 221 kPa (absoluta) pATM = 101 kPa V2 = 16 m/s A1= 0,01 m2 A2 = 0,0025 m2 Equação da Quant. de Mov. em regime permanente Desprezando as forças de campo gravitacional

17 V.C. Decompondo a equação vetorial nas direções x e y: y x V.C. A1 AS AL pATM y x Determinação das forças de pressão nas direções x e y:

18 V.C. y x

19 Exemplo 4.6: Um reservatório metálico com altura de 1 [m] e área de 2 [m2] pesa [N]. Este é colocado sobre uma balança e água escoa para o reservatório através de uma entrada no topo, e para fora através de duas aberturas iguais nas laterais, conforme esquema. Sob condições de escoamento permanente, a altura da água no tanque é 0,9 [m], determine a leitura da balança. Dados : V1 = 1,6 [m/s] A1 = A2 = A3 = 0,1 [m2] Balança V1 V2 V3 Como a área total de escoamento na saída é o dobro da entrada, pela conservação da massa, a velocidade nas seções de saída serão a metade da velocidade na entrada : V2 = V3 =0,8 [m/s]

20 Balança V1 V2 V3 Como o fluxo da quantidade de movimento da saída pelas duas laterais do reservatório se anulam (direção x), a equação será aplicada somente para a entrada (direção y): x y V1 VC WR WA FBal

21 4.4.1 – Análise do Volume de Controle diferencial
+ Equação da Quant. de Mov. em regime permanente Equação da Conservação da Massa em regime permanente

22 Fluido incompressível:
Equação de Bernoulli Exemplo 4.6 : Bocal Expressar a vazão em volume, Q, como função de p1, sendo D1 = n D2 (n>1) e p2 = pATM.

23 Simplificações: (Pressões relativas) Conservação da massa:

24 Equação de Bernoulli: para escoamento sem perdas por atrito Seção 1
Linhas de corrente Seção 1 Seção 2 = pressão estática na seção = pressão dinâmica na seção = pressão de "posição" Unidade => N/m2

25 Condições do problema:
Exemplo: Descarga de um reservatório através de uma tubulação para atmosfera, calcule a velocidade de saída. Bernoulli: escoamento sem perdas 1 2 Z1 Z2 H=30 m Condições do problema:

26 1 2 Quais são as transformações de energia que ocorrem em um escoamento deste tipo ? Unidade => m2/s2 = J/kg 1 2 g.Z fora de escala energia potencial (Z) para energia de pressão (p) energia cinética (V2/2)

27 4.4.2 – Volume de Controle movendo em velocidade constante
Um volume de controle, fixo em relação a um sistema de referência xyz, movendo-se a velocidade constante , Vrf, em relação a um sistema de referência fixo (e inercial) XYZ, também é inercial, visto que não possui aceleração em relação a XYZ. xyz XYZ Vrf

28 Velocidades no volume de controle em relação ao sistema de referência xyz (móvel)
Exemplo) O esquema mostra uma aleta de ângulo de curvatura a igual a 60o, que se move em velocidade constante U igual a 10 [m/s], recebendo um jato d´água que sai do bocal estacionário a uma velocidade V igual a 30 [m/s]. Sabendo que o bocal tem uma área de saída de 0,003 [m2], calcule a força externa que atua na aleta. a U = 10 [m/s] V = 30 [m/s] Bocal

29 Desconsiderando as forças de campo (massa da água)
U = 10 [m/s] V = 30 [m/s] Bocal Equação da Cons. da Quant. de Movimento, em regime permanente : Desconsiderando as forças de campo (massa da água) a x

30 a x

31 (Quantidade de movimento)
4.5 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração retilínea Um volume de controle, fixo em relação a um sistema de referência xyz, que se move com aceleração retilínea, , em relação a um sistema de referência inercial (fixo) XYZ, não é inercial, visto que possui aceleração em relação a XYZ. xyz XYZ Segunda lei de Newton: (Força resultante) (Quantidade de movimento)

32 Quando o movimento é somente de translação :
Equação da Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração retilínea

33 resistentes ao movimento (dir. x) atuando no V.C. :
Exemplo) Uma aleta de ângulo de curvatura a igual a 60o, é fixada a um carrinho. O carrinho e aleta, de massa M=75 [kg], rolam sobre uma pista nivelada. O atrito e a resistência do ar podem sere desprezados. A aleta recebe um jato d´água, que parte de um bocal estacionário horizontalmente, com V=35 [m/s]. A área de saída do bocal é de 0,003 [m2]. Determine a velocidade, U, do carrinho como função do tempo. a V = 35 [m/s] Bocal U Não há forças resistentes ao movimento (dir. x) atuando no V.C. : e

34 a V = 35 [m/s] Bocal U Pode-se desprezar a variação da quantidade de movimento no V.C. se considerarmos que a massa de água é bem menor que a massa do carrinho :

35 a V = 35 [m/s] Bocal U

36 4.6 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração arbitrária

37 4.7 – Quantidade de movimento angular
Lei da conservação da quantidade de movimento angular:

38 4.8 – Conservação da Energia
Q > 0 W > 0 + Q < 0 W < 0 _ Sistema

39 Equação da energia para Vez:
taxa de variação da propriedade energia para sistemas taxa de variação de energia específica no volume de controle fluxo de energia específica através da superfície de controle

40 4.8.1 – Taxa de trabalho realizado em um Volume de Controle
1 – Trabalho de eixo Trabalho de eixo que cruza a superfície de controle Ex.: Motor elétrico, turbina ou bomba hidráulica, compressores e etc. 2 – Trabalho realizado pelas tensões normais (pressão) na superfície de controle O sinal – aparece devido a convenção de sinais para sist.

41 3 – Trabalho realizado pelas tensões de cisalhamento na superfície de controle
Nas paredes, se , tem-se, Nas entradas e saídas, se , tem-se, Portanto, em geral, tem-se: 4 – Outros trabalhos

42 Equação da energia para VCs:

43 Equação da energia para VCs:
Definição de entalpia Equação da energia para VCs: Em regime permanente:

44 Equação da energia em regime permanente:
4.7) Determine a taxa de transferência de calor de um compressor cuja potência mecânica é de 600 [HP] e vazão em massa de 20 [lbm/s] sendo que as condições de entrada e saída são dadas na figura. compressor p1 = 14,7 [psia] T1 = 70 [F] p2 = 50 [psia] T2 = 100 [F] A2 = 1 [ft2] V1 = 0 Equação da energia em regime permanente: Desprezando a energia potencial e considerando escoamento uniforme :

45 Considerando o ar como gás perfeito:
compressor p1 = 14,7 [psia] T1 = 70 [F] p2 = 50 [psia] T2 = 100 [F] A2 = 1 [ft2] V1 = 0 Considerando o ar como gás perfeito:

46 compressor p1 = 14,7 [psia] T1 = 70 [F] p2 = 50 [psia] T2 = 100 [F] A2 = 1 [ft2] V1 = 0

47 Equação da energia para VC em regime permanente:
Se a troca de calor e o trabalho de eixo forem iguais a zero : Para um VC com uma entrada e uma saída, em escoamento uniforme: Em temperatura constante Equação de Bernoulli

48 Exercício 4.8) A vazão da bomba instalada no caminhão mostrado na figura é 42,5 [l/s] e o jato d água lançado pelo canhão deve alcançar o plano distante 18,3 [m] do hidrante. A pressão da água na seção de alimentação da mangueira, que apresenta diâmetro igual a 102 [mm], é 69 [kPa]. Determine a potência transferida à água pela bomba.

49 Considerando escoamento uniforme, a seção de entrada na seção após o hidrante (onde z=0 ) e a seção de saída onde a velocidade é praticamente zero (ponto mais alto da trajetória do jato), tem-se:

50 p1 = 69.000 [N/m2] e p2 = 0 (atmosfera)
Determinação de V1 Se p1 = 0

51 Exercício 4.9) A vazão de óleo no tubo inclinado mostrado na figura é 142 [l/s].
Sabendo que a densidade do óleo é igual a 0,88 e que o manômetro de mercúrio indica uma diferença entre as alturas das superfícies livres do mercúrio igual a 914 [mm], determine a potência que a bomba transfere ao óleo. Eq. da energia para um VC com uma entrada e uma saída, em escoamento uniforme, em temperatura constante:

52 Q = 142 [l/s] d=0,88 2 1 Manometria :

53 Q = 142 [l/s] d=0,88 2 1