EDO de 2ª ordem Linear Cálculo 2 A – Turma H1 2014.1.

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1 EDO de 2ª ordem Linear Cálculo 2 A – Turma H1 2014.1

2 EDO de 2ª ordem linear Uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma onde f é alguma função dada. A equação (1) é dita linear se a função f tem a forma Ou seja, onde p,q e g:(a,b)→IR. (1) (2)

3 EDO de 2ª ordem linear Um P.V.I é constituido por (2) e uma par de condições y(t0)=y0 e y’(t0)=y’0 onde y0 e y0’ são números dados. Uma equação linear de segunda ordem é dita homogênea se a função g(t) é igual a zero para todo t.

4 EDO de 2ª ordem linear homogênea
Então uma EDO 2ª ordem linear homogênea é da forma: y’’+p(t)y’+q(t)y= (3) Vamos estudar as soluções de (3) com as funções p e q constantes. Exemplo 1: Resolva a equação y” – y = 0. Temos neste caso p = 0 e q = - 1. Isto significa procurar uma função cuja derivada segunda é igual a ela mesma.

5 EDO de 2ª ordem linear homogênea
Facilmente identificamos que y1(t) = e t e y2 (t) = e -t servem. Também servem c1 y1 (t) = c1 e t e c2 y2 (t) = c2 e -t E mais y = c1 y1 (t)+c2 y2 (t) = c1 e t + c2 e –t, para c1 e c2 quaisquer.

6 EDO de 2ª ordem linear homogênea
Teorema: (Princípio da Superposição) Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0, então a combinação linear c1y1(t) + c2y2(t) também é solução , quaisquer que sejam os valores das constantes c1 e c2 .

7 Wronskiano Vamos verificar as condições para que uma solução da forma
c1y1(t) + c2y2(t) satisfaça o P.V.I. y(t0)=y0 e y’(t0)=y’0 (quadro)

8 O Wronskiano e a independência linear das soluções
Definição: Duas funções y1, y2:(a,b)→IR são L. D. se existe uma constante k tal que y2(t)=k y1(t). Duas funções y1, y2:(a,b)→IR são L. I. se a condição c1y1(t) + c2y2(t)=0 implicar que c1=c2=0. Teorema: Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0 num intervalo (a,b) e se W[y1,y2](t0)≠0 num ponto do intervalo então y1 e y2 são L. I. sobre (a,b). De outra forma, se y1 e y2 forem L. D. sobre (a,b) então W[y1,y2](t)=0 para todo t em (a,b).

9 EDO de 2ª ordem linear homogênea
Pode-se concluir que o espaço das soluções das EDO’s de 2ª ordem lineares homogêneas tem dimensão....

10 EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes
Vamos reescrever (3) da seguinte forma: y’’+p y’+q y= (3’) Candidato a solução: y(t)=eλt. Vamos testar! Substituindo em (3’) obtemos λ2 eλt+p λ eλt+q eλt= eλt (λ2+p λ+q)=0 Derivada de 2ª ordem Derivada de 1ª ordem Derivada de ordem zero (a própria função)

11 EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes
Para que y(t)=eλt seja solução devemos λ2+p λ+q=0 (4) que é conhecida como equação característica auxiliar da EDO (3’). Como (4) é uma equação do 2º grau temos três possibilidades para suas raízes

12 EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes
Caso 1: (p2-4q>0) Duas raízes reais distintas: λ1 e λ2. Candidatos a solução: Calculando o Wronskiano dessas soluções temos que: Portanto as soluções y1 e y2 dadas são L.I. e neste caso a solução geral é da forma Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária y’’ – 5y’ +6 y = 0.