Estatística Inferencial (cap. 7 Martins)

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1 Estatística Inferencial (cap. 7 Martins)
Estatística descritiva – trata da organização, sumarização e descrição dos dados Estatística inferencial – métodos que tornam possível a estimação de características de uma população baseadas nos resultados amostrais População é a totalidade de itens, objetos, ou pessoas sob consideração Amostra é uma parte da população que é selecionada

2 Amostragem Amostragem aleatória simples – todos os elementos da população têm igual probabilidade de compor a amostra; Se a população é finita, a escolha de uma amostra aleatória envolve a compilação de uma lista de todos os elementos da população, e a realização de sorteios para escolher os itens que irão compor a amostra

3 Níveis de mensuração As operações aritméticas e técnicas estatísticas admissíveis dependem do nível de mensuração da variável Nível nominal – a variável pode assumir duas ou mais categorias. Ex.: estado civil, religião. Não é possível realizar operações aritméticas. Estas variáveis são chamadas de variáveis categóricas Nível ordinal – quando as categorias mantêm uma relação de ordem. Ex.: escolaridade Nível intervalar – além de manter uma ordem, os intervalos de medição são iguais. Ex.: peso, altura, volume. Permite operações aritméticas básicas. Nível de razão – além das características do nível intervalar, o zero é real, é absoluto (não é arbitrário).

4 Medidas de posição e de dispersão
Soma dos valores de x Σ x X = = Número de observações n Amostra (a) = 20, 19, 21 Dispersão Amostra (b) = 30, 20, 10 X Xa = 20 Xb = 20 O que interessa é o desvio em relação à média

5 Medidas de posição e de dispersão
Amostra (a) = 20, 19, 21 Dispersão Amostra (b) = 30, 20, 10 X Xa = 20 Xb = 20 O que interessa é o desvio em relação à média, mas A variância amostral (S²), de uma amostra de n medidas é igual à soma dos quadrados dos desvios dividido por (n-1) S = √S² S² = Σ (Xi –X)² n-1 O desvio padrão (S),

6 Coeficiente de variação de Pearson
Regra empírica O intervalo X ± S contém entre 60% e 80% de todas as observações amostrais O intervalo X ± 2S contém aproximadamente 95% de todas as observações amostrais Coeficiente de variação de Pearson S Mede a dispersão relativa C.V = x 100 X C.V < 15% baixa dispersão C.V > 30% alta dispersão

7 Escore padronizado É outra medida relativa de dispersão Zi =
Para uma medida Xi é dado por: Xi –X S Um escore negativo indica que Xi está à esquerda da média e positivo à direita Zi = Exemplo: São dadas as médias e os desvios padrões das avaliações de duas disciplinas: Português Xp = 6, Sp = 1,2 Matemática Xm = 5, Sm= 0,9 Relativamente às duas disciplinas, em qual delas obteve melhor desempenho um aluno que tirou 7,5 em português e 6,0 em matemática?

8 Utilizando escore padronizado teremos:
Xi –X S 7,5 – 6,5 1,2 Zi = Zp = Zp = 0,83 6,0 – 5,0 0,9 Zm = Zm = 1,11 0,83 1,11 -3s Xp= 6,5 7,5 3s Xm = 5,0 6,0 Logo, o desempenho melhor foi em matemática, apesar da sua nota ter sido menor

9 Outliers Observações que fogem das dimensões esperadas
Considerar outliers as observações cujos escores padronizados sejam maiores do que 3, em valor absoluto 99,74 % m -3s 3s

10 Distribuição normal padrão
Z = X - m s Área = probabilidade Z=0 Zi Uma tabela fornece a área em função de Z

11 Exercício 1 As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com média 1,60 m e desvio padrão de 0,3 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir entre 1,50 e 1,80m Solução = 1, s = 0,30 P (1,50 < X < 1,80) = P(Z1 < Z < Z2) Z = X - m s Z1 = 1,50 – 1,60 0,3 Z2 = 1,80 – 1,60 0,3 Z1 = - 0,33 Z = 0 Z1 Z2 Z2 = 0,67

12 Exercício 1 - continuação
Consultando a tabela: Área = 0, p/Z1 = 0,33 Área = 0, p/Z2 = 0,67 Logo, Área total = 0, ,2486 Área = 0,3779 ou P (1,50 < X < 1,80) = 37,79% Z = 0 Z1 Z2

13 Exercício 2 As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com média 1,60 m e desvio padrão de 0,3 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir mais de 1,75 m Solução Transformando em normal padrão X=1,60 1,75 0,5 Consultando a tabela temos a área (amarela) que é 0,1915, logo a área azul será 0,5 – 0,1915 = 0,3085 A probabilidade de um aluno com mais de 1,75m é de 30,85%

14 Exercício 3 As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com média 1,60 m e desvio padrão de 0,3 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir menos de 1,48 m Solução 1,48 – 1,60 Z = 0,3 Z = - 0,4 -0,4 1,48 1,60 Consultando a tabela temos a área igual (0,5 – 0,1554) = 0,3446 A probabilidade de um aluno com menos de 1,48m é de 34,46%

15 Exercício 4 As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com média 1,60 m e desvio padrão de 0,3 m. Qual deve ser a medida mínima para escolhermos 10% dos mais altos? Solução 10% mais altos, logo conhecemos a área e queremos determinar o valor de Z Consultando a tabela para uma área igual a 0,40 (0,5-0,1) temos Z=1,28 Z Z = (X – 1,60)/ 0,3 Logo X = (1,28x0,3) + 1,60 X = 1,98 Assim, a medida mínima para escolhermos os 10% mais altos é 1,98m

16 Inferência estatística
Busca obter informações sobre a população a partir dos elementos amostrais População Amostra ^ q q Estimador Parâmetro populacional Inferência ou indução estatística

17 Inferência estatística
População Amostra m s x s

18 Inferência estatística
Pode ser feita por ponto ou por intervalo de confiança Exemplo: retira-se uma amostra aleatória de 500 brasileiros e calcula-se a média de suas alturas, encontrando-se 1,66. Uma estimativa pontual da verdadeira altura média (μ) é dada por X = 1,66m. Através do intervalo de confiança poder-se-ia encontrar um intervalo, por exemplo [1,58; 1,68] que, em 95% das vezes incluiria μ, o verdadeiro valor da média dos brasileiros

19 Intervalo de confiança
α = erro α = nível de confiança α = 5% α = 95% α/2 1- α α/2 -Z α/2 Z α/2

20 Intervalo de confiança
O intervalo de confiança para a média populacional (μ) quando a variância (s²) é conhecida X - Zα/ ≤ μ ≤ X + Zα/2 s √n P [ ]= 1- α

21 Exemplo: a duração da vida de uma peça é tal que s = 5 horas
Exemplo: a duração da vida de uma peça é tal que s = 5 horas. Foram amostradas 100 dessas peças obtendo-se a média de 500 horas. Deseja-se construir a verdadeira duração média da peça com um nível de 95%. Solução Do enunciado do problema se tem: s = n = X = (1- α)100 = 95%

22 P [ ]= 1- α s X - Zα/2 ≤ μ ≤ X + Zα/2 √n
Do enunciado do problema se tem: s = n = X = (1- α)100 = 95% Solução 2,5% 95% 2,5% Para se encontrar o valor de Z α/2 entrou-se na tabela com 0,475 -Z α/2 = -1,96 Z α/2 = 1,96 Substituindo os valores na fórmula abaixo X - Zα/ ≤ μ ≤ X + Zα/2 s √n P [ ]= 1- α P[ 500 – 1,96. 5/√100 ≤ μ ≤ ,96. 5/√100] = 95% P[ 499,02≤ μ ≤ 500,98] = 95% Intervalo de confiança

23 Estimativa de intervalo
Ex.: O intervalo [ 1,60m; 1,64m] contém a altura média dos moradores do município X, com um nível de confiança de 95% . O risco do erro de inferência será de 5%, isto é, se tomarmos 100 amostras de tamanhos iguais, poderíamos esperar que 95 desses intervalos iriam conter o parâmetro populacional 1 2 3 4 5 6 99 100 m

24 Amostragem Amostra é um subconjunto da população que deve de fato representar toda a população População Amostra N n n N = fração amostral

25 Amostragem Tamanho da amostra para se estimar a média de uma população finita n = Z . s d [ ] 2 n = tamanho da amostra aleatória simples Z = abscissa da distribuição normal padrão d = erro amostral, máxima diferença entre m e x admissível s = desvio padrão da população Z = 1,96 para um nível de confiança de 95% Z = 2,0 para um nível de confiança de 95,5% Z = 2,57 para um nível de confiança de 99%

26 Exemplos Suponha que a variável escolhida em um estudo seja o peso de uma certa peça, e que a população é infinita. O desvio padrão é de 10kg. Admitindo-se um nível de confiança de 95,5% e um erro amostral de 1,5 kg, qual deve ser o tamanho da amostra? n = Z . s d [ ] 2 d = 1,5 kg s = 10kg Z = 2,0 Z = 2,0 para um nível de confiança de 95,5% n = 2 . 10 1,5 [ ] 2 n = tamanho da amostra aleatória simples = 178