Carregar apresentação
A apresentação está carregando. Por favor, espere
1
Cálculo Diferencial e Integral A
Derivada de uma função: Definição Me. Gilcimar Bermond Ruezzene
2
Derivadas O conceito foi introduzido em meados dos séculos XVII e XVIII em estudos de problemas de Física. Destacam-se Isaac Newton, Leibniz e Lagrange. Mais tarde essas idéias foram introduzidas em outras áreas.
3
Derivadas Considere uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois pontos de seu domínio Sejam f(x0) e f(x1) as correspondente imagens f(x1) ● Δy f(x0) ● Δx x0 x1
4
Derivadas Chamamos de taxa média de variação de f, para x variando de x0 até x1, ao quociente
5
Exemplo1 Seja a função f(x)=x2 , o ponto inicial de abscissa x0=1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é: Isso significa, que se x variar 2 unidades (a partir de x0 =1), a variação de f será 4 vezes maior, pois Δf=8, enquanto Δx=2.
6
Exemplo Suponhamos que um objeto seja abandonado a m de altura e que a função f(t)= t2 altura do objeto em relação ao solo, t segundos após ele ser abandonado. Temos: f(0)=2.000 e f(5)= Δf1=-250. Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto caiu 250 m. Δf2=f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5 segundos seguintes o objeto caiu 750m.
7
Exemplo 3 Para uma mesma variação de t (5 segundos), a variação de altura é diferente. A taxa média de variação da função representa a velocidade média do objeto a cada intervalo de tempo considerado. 1º intervalo: Velocidade média: 2º intervalo: Velocidade média:
8
Taxa instantânea Muitas vezes estamos interessados na taxa instantânea de variação de determinado fenômeno. Por exemplo: velocidade de um objeto num determinado instante (velocidade instantânea).
9
A derivada representa a função que expressa a variação de uma função
10
Podemos calcular a média de variação entre os dois pontos
Podemos calcular a média de variação entre os dois pontos. Mas, isso é apenas uma estimativa...Mas...
11
Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais. Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x para x + Δx : m=
12
Derivada: Definição ou
13
É chamada de quociente de diferença de f em x0 com incremento h.
Taxas de variação: Derivada em um Ponto A expressão É chamada de quociente de diferença de f em x0 com incremento h. Se o quociente de diferença tem um limite quando h tende a zero, esse limite é chamado de derivada de f em x0. Se interpretamos o quociente de diferença como um coeficiente angular da secante, a derivada nos dá o coeficiente angular da tangente e da curva no ponto onde x = x0. Se interpretamos o quociente de diferença como uma taxa média de variação, a derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a x no ponto x = x0. A derivada é uma das mais importantes ferramentas matemáticas usadas em cálculo.
14
Todas estas afirmações referem-se à mesma coisa
1. O coeficiente angular de y = f (x) em x = x0. 2. O coeficiente angular da tangente à curva y = f (x) em x = x0. 3. A taxa de mudança de f (x) em relação a x em x = x0. 4. A derivada de f em x = x0. 5.
16
Uma reta tangente à função, no ponto em que ela toca na curva, ela é a derivada da referida função.
17
Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada
1) Escreva expressões para f(x) e f(x + h). 2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença 3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando o Limite:
18
melhor observar o gráfico próximo do ponto P .
Reta Tangente Nas figuras abaixo vemos o gráfico de uma função f em uma vizinhança de um ponto P, de uma para outra figura aumentamos o "zoom" para melhor observar o gráfico próximo do ponto P . Observe que bem próximo do ponto P o gráfico se parece com a parte de uma certa linha reta ; e esta linha é o que chamamos reta tangente .
19
Reta tangente ao gráfico
20
Exemplo 1 – Aplicando a Definição
a) Encontre a derivada de e b) Determine a reta tangente que passa pelo ponto (9,3). 1) e 2) 3)
21
Exemplos: Utilizando a definição, determine a derivada da função em um ponto dado. Em seguida, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico naquele ponto : a) y= x, (3,2); b) f(x) = x2, (2,4); determine f’(-2); f’(3). c) f(x) = x3 ,(2,8); determine f’(5); f’(1). d) y = x2+4x+4, (-1,1); f’(-1); f’(2).
22
Página: 120 exercícios de 11 à 20 exceto 16 e 18.
Thomas, George B. Cálculo. V1, Ed.12ª.São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. Página: 120 exercícios de 11 à 20 exceto 16 e 18. Página: 126 exercícios de 1 à 16, apenas os ímpares.
Apresentações semelhantes
© 2024 SlidePlayer.com.br Inc.
All rights reserved.