Operações com Naturais

Apresentação em tema: "Operações com Naturais"— Transcrição da apresentação:

1 Operações com Naturais
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE INSTITUTO DE EDUCAÇÃO DE ANGRA DOS REIS DISCIPLINA: MATEMÁTICA CONTEÚDO E MÉTODO I Operações com Naturais Prof. Adriano Vargas Freitas

2 Multiplicação e Divisão de números Naturais

3 Pra início de conversa... Todos nós, professores, temos encontrado crianças e jovens que, embora dominem as regras e fatos relacionados à multiplicação e à divisão com números naturais, encontram grandes dificuldades para decidir “qual operação resolve” um determinado problema. Mesmo com a calculadora disponível, se não souber definir o que fazer, o aluno não conseguirá resolver o problema. Assim, a grande preocupação do educador matemático, hoje, é levar o aluno a construir os significados de cada operação, diante das diversas situações em que essas operações podem aparecer. Isso não significa que as técnicas operatórias usuais serão desprezadas. O trabalho com elas deve ser feito, sempre justificado pelas leis que regem o Sistema de Numeração Decimal, de modo que os estudantes possam compreender cada procedimento realizado.

4 Formalizando a multiplicação:
Exemplos de atividades Podemos trabalhar com as ideias de multiplicação como sendo uma adição de parcelas iguais. Podemos propor situações problemas que envolvam essas operações. Podemos utilizar atividades em que a multiplicação seja utilizada para fazer ampliações de figuras planas (ex.: duplicando os lados de um triângulo). Podemos utilizar atividades diversas envolvendo situações problemas. Podemos utilizar atividades que envolvam a tabuada de multiplicação. Ideias da multiplicação: adição de parcelas iguais, cálculo do número de possibilidades.

5 Observações importantes: (1) Na multiplicação 4 x 5 = 20,
o 4 e o 5 são chamados de fatores, o 20 é o produto. O produto de um número por 2 é chamado dobro, por 3 triplo, por 4 quádruplo, etc... A multiplicação possui as seguintes propriedades: (para números naturais) . Comutativa: 4 x 5 = 5 x 4 (a ordem dos fatores não altera o produto). . Elemento neutro: 4 x 1 = 4 (o número um é o elemento neutro da multiplicação). . Associativa: 3 x (2 x 1) = (3 x 2) x 1 (numa multiplicação de três números naturais quaisquer, podemos associá-los de modos diferentes, sem alterar o produto. . Distributiva: 5 x (8 + 3) = 5 x x 3 (o produto de um número natural por uma soma (ou subtração) de números naturais pode ser obtido multiplicando-se esse número pelos termos da soma e, em seguida, somando-se (ou subtraindo-se) os produtos parciais.

6 Formalizando a divisão:
O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. Ideias da divisão: Repartir em partes iguais, medir para saber quanto caberá em cada agrupamento

7 ATENÇÃO: Na Divisão com números naturais não temos as propriedades: Fechamento: Esta propriedade não é satisfeita pela divisão, pois, por exemplo, 1 dividido por 2 não pertence aos conjunto dos números naturais.  Associatividade: Esta propriedade não é satisfeita, pois (15 : 5) : 3 é diferente de (3 : 5) :15, por exemplo.  Existência de Elemento Neutro: Esta propriedade não é satisfeita, pois, por exemplo, 2 dividido por 1 é 2, mas 1 dividido por 2 não pertence aos naturais.  Comutatividade: Esta propriedade não é satisfeita, pois, por exemplo, 2 dividido por 1 é diferente de 1 dividido por 2, o qual nem pertence aos naturais. 

8 O zero na divisão: Quando o dividendo é zero e o divisor é diferente de zero, o quociente é sempre zero. Exemplos: 0 : 8 = 0, porque 0 x 8 = 0 0 : 15 = 0, porque 0 x 15 = 0 Não existe divisão por zero. 8 : 0 = nenhum número, porque nenhum número x 0 = 8

9 A multiplicação e a divisão exata relacionam-se uma com a outra.
Observe: se 6 x 7 = 42 então, 42 : 6 = 7 e 42 : 7 = 6

10 Ex.: Dona Jurema fez três bolos com a mesma
receita. Em cada bolo, ela colocou 5 ovos. Quantos ovos usou nesses bolos?

11 A divisão está intimamente relacionada à
multiplicação, surgindo como sua operação inversa, nas situações-problema. Os problemas que envolvem divisão de números naturais sempre se referem a uma coleção de elementos organizados em uma certa quantidade de grupos, sendo que cada grupo possui a mesma quantidade de elementos. Ex.: Dona Jurema fez 3 bolos iguais, gastando ao todo 15 ovos. Quantos ovos são necessários para cada bolo? Ou Dona Jurema tem 15 ovos e vai fazer bolos que gastam 5 ovos cada um. Quantos bolos Dona Jurema poderá fazer?

12 Ideias de registro das operações:

13 Usar ou não a tabuada? "Ter a tabuada na ponta da língua libera o aluno para se preocupar com outros desafios do problema. No entanto, antes de decorá-la, ele deve compreendê-la por meio de atividades que mostrem a relação entre os números e as propriedades da multiplicação, como a proporcionalidade e a comutatividade (sem que para isso seja necessário apresentar a definição delas). Se 6 é o dobro de 3, todos os resultados da tabuada do 6 são o dobro dos resultados da do 3. Caso não se lembre que 8 x 4 = 32, a criança pode buscar na memória o resultado de 4 x 8, que parece mais simples e é o mesmo. Outra conclusão a que ela pode chegar: se 7 x 10 = 70, para saber quanto é 7 x 9, basta subtrair 7 desse resultado para chegar a 63. "Tudo passa a fazer sentido e fica fácil decorar", completa. (Leika Watabe, formadora de professores da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo)

14 Sugestão: Quadro da Tabuada
Há várias atividades a serem propostas com o uso da tabela, que serve, inclusive, de material de diagnóstico dos estudantes. Compreendido seu funcionamento, eles podem, por exemplo, preencher somente as tabuadas do 5 e do 10 para verificar que os resultados da primeira correspondem à metade dos resultados da segunda. Dessa forma, a turma pode tirar diversas conclusões e ir memorizando os valores ou encontrá-los com facilidade. Só depois de um trabalho sistemático é adequado afixar a tabela em sala de aula para ser consultada sempre que necessário.

15 Não se aprendem as propriedades desconectadas de seu uso.
Elas se constituem como ferramentas que nos permitem justificar e compreender procedimentos de cálculo. Para trabalhar o assunto, proponha que as crianças resolvam alguns cálculos, como: 2 x 4       4 x 2  x 2       2 x 3  x 3       3 x 5 Em seguida, peça que analisem e comparem os resultados da primeira e da segunda coluna e digam o que observaram. Elas devem concluir que os resultados se repetem. Indague por que elas acham que isso acontece e se sempre é assim. Desafie a turma a propor outras multiplicações e experimentar inverter a ordem dos números. Libere o uso da calculadora para que possam confirmar o produto dos cálculos mais rapidamente e constatar a regularidade.

16 (Profa. Priscila Monteiro)
é possível explorar várias relações. Por exemplo: será que todo número vezes 3 é ímpar? E quando é multiplicado por 6? Sempre que é preciso multiplicar por 10, basta acrescentar um 0 após o número? Por que um número vezes 1 é igual a ele mesmo? "Quando os estudantes constroem uma rede de relações entre os números, eles conseguem compreender a tabuada e decorar os resultados da multiplicação com mais facilidade" (Profa. Priscila Monteiro)

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18 Mateus, irmão do Marcelo, registrou assim:
2. Marcelo e seus dois irmãos juntaram 345 reais e agora vão dividir igualmente entre os três. Marcelo resolveu o problema da seguinte forma: Mateus, irmão do Marcelo, registrou assim: Interprete o que Marcelo e Mateus fizeram para resolverem o problema. Você usaria outro registro procedimento? Qual?

19 3. Marina vai viajar e pretende levar 2 saias e 3 blusas de modelos
diferentes. Veja o desenho que ela fez. De quantas maneiras ela pode se arrumar, usando uma saia e uma blusa?

20 A multiplicação realizada
Um pouco de história... A multiplicação realizada por outros povos...

21 A multiplicação na Índia:
Os matemáticos hindus desenvolveram um método de multiplicação através de tábuas quadriculadas. Mais tarde os árabes o levaram para a Europa e o método ficou conhecido como MÉTODO DA GELOSIA Obs.: Cada quadradinho da tabela é obtido multiplicando-se linha X coluna.

22 Ex.: Para multiplicar 45 por 37 procede-se do seguinte modo:
- seleccionam-se as tiras desejadas; - colocam-se como se vê na figura seguinte (fig. 1); - o resultado obtém-se somando os valores das colunas oblíquas, da direita para a esquerda; - a primeira coluna oblíqua tem apenas um valor, 5, e este será o algarismo das unidades; - na segunda coluna oblíqua temos 8, 3, 5 que somados dão 16, o algarismo 6 será o das dezenas enquanto que o algarismo 1 irá ser adicionado ao resultado da coluna oblíqua seguinte; - na terceira coluna oblíqua adiciona-se os algarismos 2, 2, 1 com o 1 que "vem" da coluna anterior e obtemos 6, sendo este o algarismo das centenas; - a quarta coluna tem somente o 1 que é o algarismo dos milhares.

23 A multiplicação na China:
Os chineses usavam um método prático utilizando varetas de bambu. Podemos considerar esse método como uma variação do método da gelosia dos hindus. As varetas são dispostas na horizontal e na vertical, representando o multiplicador e o multiplicando. Os pontos de intersecção das varetas são contados e representarão as multiplicações. É o método da MULTIPLICAÇÃO DAS VARETAS

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25 Para próxima aula: Lista de exercícios 2

26 “As crianças precisam saber que podem criar, pensar por si mesmas, reinventar e reformular o que não está bom, em vez de repetir indefinidamente as soluções que outros lhe ensinaram. Se as bases forem sólidas, se seus primeiros passos forem seguros, poderão atingir o período formal de desenvolvimento com capacidade de fazer abstrações, generalizações, de estabelecer relações entre o que existe.” Ramos, Luzia Faraco Conversas sobre números e operações, Ática, 2009.