O espaço bidimensional (R2)

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1 O espaço bidimensional (R2)
P(x,y) Espaço Cartesiano

2 Vetores. Uma visão analítica
cota abscissa ordenada ou A=(Ax, Ay, Az)=(a1, a2, a3)

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6 Produto Escalar

7 Trabalho O trabalho é o produto escalar entre a força e o deslocamento. Em bioenergética, a forma mais útil de quebrar nutrientes durante o metabolismo é através do trabalho Exemplos 1) Calcular o trabalho requerido para levar 10g de água líquida ( ~10mL) pelo tronco de uma árvore de 20 m de altura desde a raiz até o topo. Comparar com o trabalho realizado para levantar um livro de massa 1 kg, até uma altura de 20 cm. Calcular o trabalho realizado pela força F no deslocamento Dr. F=(-3 N, 2 N, -4 N) Dr =(0.3m, 0.5m , 0,1 m)

8 Produto Vetorial

9 Distância entre dois pontos
A (X0,Y0) B (X1,Y1) C (X1,Y0) X Y X0 X1 Y0 Y1 Teorema de Pitágoras Provar que no espaço tridimensional a distância euclidiana entre dois pontos é determinada por:

10 Teorema do cosseno a b c q
Determinar as distâncias das extremidades do dipolo até uma carga pontual, como aparece na figura: R q L

11 Função De modo geral, dados dois conjuntos, A e B, e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma aplicação ou função de A em B se, e somente se, para todo x Є A existe um único y  Є B, de modo que (x , y) Є  f. R = {(-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1)}. Observando o conjunto A percebemos que todos os elementos do conjunto A estão ligados a um elemento do conjunto B. D(R4) = A Im (R4) = {0,1,4} R = { (0,0), (1,1), (4,2), (9,3), (4,-2)}. Observando o conjunto A e o elemento 4, percebemos que ele está relacionado com dois elementos do conjunto B, como isso a relação R2 não é uma função.

12 Domínio, Codomínio e imagem
São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o contradomínio é: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio. Note-se que a função se caracteriza pelo domínio, o contra-domínio, e a lei de associação. Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

13 Função par e ímpar Uma função f de uma variável independente x é chamada de PAR exclusivamente quando para todos os valores x e -x do seu domínio tem-se que f(x)=f(-x) Uma função f de uma variável independente x é chamada de ÍMPAR exclusivamente quando para todos os valores x e -x do seu domínio tem-se que f(x)=-f(-x)

14 Composição de funções Função inversa
São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. O domínio da função composta é a interseção dos domínios. Função inversa Assim, podemos estabelecer uma relação inversa, transformando o contradomínio em domínio, e o domínio em contra-domínio de uma função. A expressão que representa essa troca é chamada de função inversa, e é representada por f -1(x).

15 Idéia Intuitiva de Limite
Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Consideremos a função f:R-{1} --> R definida por: Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).

16 Limite de uma função real
Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no ponto x=c que pertence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que: O limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c. O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (à esquerda de c) menores que c. Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz-se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld=Le=L. O que significa que, para qualquer e>0 e arbitrário, existe um d > 0, que depende de e, tal que |f(x)-L|< e para todo x satisfazendo 0 <|x-a|<d. Se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único. Unicidade do Limite: Se Lim f(x)=A e Lim f(x)=B quando x tende ao ponto c, então A=B.

17 Teorema do Confronto (regra do sanduíche): Se valem as desigualdades f(x)<g(x)<h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez em x=a e se: Exemplo: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades: Se acontecer uma das situações abaixo: Lim f(x) = 0 Lim f(x)>0 e n é um número natural Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar então

18 Derivadas Definição de Derivada – Função Derivada
A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função f´ cujo valor em x é: desde que o limite exista.

19 Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada
1) Escreva expressões para f(x) e f(x +Dx). 2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença 3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando o Limite:

20 Exemplo 1 – Aplicando a Definição
Encontre a derivada de e 1) e 2) 3)

21 Propriedades Derivada da soma, produto e quociente Regra da Cadeia
A regra da cadeia afirma que: que na notação de Leibnitz é escrita como:

22 Exemplos

23 Integração Antiderivada
Integração é o oposto (ou operação inversa) da diferenciação. Se a derivada de f (x) dá como resultado F(x) então, por definição, a integral de F(x) dá como resultado f (x). Temos chamado F(x) à derivada de f (x) e agora chamaremos f (x) a integral indefinida de F(x). Para isso usamos a notação: Definição conceitual Para se descrever a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, b] utiliza-se a notação: A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Isto porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo.

24 Consideremos a curva y = f(x) entre x = 0 and x = 1, comf(x) = √x
Consideremos a curva y = f(x) entre x = 0 and x = 1, comf(x) = √x. Perguntamos: Qual é a área sob a função f, no intervalo de 0 a 1? Como uma primeira aproximação, olhamos ocuadrado unitário com lados em x=0 e x=1 e y = f(0) = 0 e y = f(1) = 1. Sua área é exatamente igual a 1. Como pode ser observado, o verdadeiro valor da integral deve ser menor. Diminuindo a largura do retângulo de aproximação, obteremos um resultado melhor. Dividindo o intervalo em 5 partes, usando os pontos de aproximação: 0, 1⁄5, 2⁄5, até 1. Ajustamos uma caixa para cada passo usando o valor da função à direita para cada pedaço da curva, √1⁄5, √2⁄5, e assim por diante até √1 = 1. Somando essas áreas desses retângulos, obtemos uma melhor aproximação:

25 Em geral, através do Teorema Fundamental do Cálculo
Onde f(x) é a antiderivada de F(x)

26 Métodos de integração: Substituição
Considere a integral: A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis u = g(x), onde g(x) é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo du = g'(x)dx 

27 Integral por partes Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto,  Integrando ambos os lados, obtemos ou

28 Integral por partes Calcular