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Variável Aleatória Contínua
Universidade do Estado da Bahia Departamento de Ciência Humanas e Tecnologias Campus XIX - Camaçari Variável Aleatória Contínua
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Modelos Contínuos de Probabilidade
Variável aleatória continua: Assume valores num intervalo de números reais. Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de uma v.a. contínua. Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.
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Propriedades dos modelos contínuos
Uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade f(x) com as propriedades: A área sob a curva de densidade é 1; (ii) P(a X b) = área sob a curva da densidade f(x) e acima do eixo x, entre os pontos a e b; (iii) f(x) 0, para todo x; (iv) P(X = x0) = 0, para x0 fixo. Assim, P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b).
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Distribuição Normal , – < x < . Notação : X ~ N( ; 2)
Dizemos que v. a. X tem distribuição Normal, com parâmetros e 2, se sua função densidade de probabilidade é dada por: , – < x < . Pode ser mostrado que 1. é o valor esperado (média) de X ( - < < ); 2. 2 é a variância de X ( 2 > 0). Notação : X ~ N( ; 2)
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Propriedades da Distribuição Normal
E(X) = (média ou valor esperado); Var(X) = 2 (e portanto, DP(X) = ); f (x) 0 quando x ; x = é ponto de máximo de f (x); - e + são pontos de inflexão de f (x); A curva Normal é simétrica em torno da média .
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A distribuição Normal depende dos parâmetros e 2
1 2 N( ; s ) x Curvas Normais com mesma variância 2 mas médias diferentes ( 2 > 1).
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Influência de s2 na curva Normal
N(m;s12) N(m;s22) s22 > s12 m Curvas Normais com mesma média m, mas com variâncias diferentes (s22 > s12 ).
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Cálculo de probabilidades
P(a < X < b) Área sob a curva e acima do eixo horizontal (x) entre a e b. a b m
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Distribuição Normal Padrão
A função de densidade normal depende de dois parâmetros, e 2. Para resolver este problema, recorre-se a uma mudança de variável, transformando a v.a. X na v.a. Z assim definida Esta nova variável chama-se variável normal padrão, onde a sua média é 0, e seu desvio padrão 1
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Se X ~ N( ; 2), definimos E(Z) = 0 Var(Z) = 1 X ~ N(m ; s2)
b x f(x) X ~ N(m ; s2) z f(z) a – m s b – m Z ~ N(0 ; 1)
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Portanto Dada a v.a. Z ~N(0;1) podemos obter a v.a. X ~ N(;2) através da transformação inversa X = m + Z s.
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