Fundamentos de Análise de Sinais

Apresentação em tema: "Fundamentos de Análise de Sinais"— Transcrição da apresentação:

1 Fundamentos de Análise de Sinais
Fundamentos de Probabilidade

2 Exemplos de Aplicações
Análise de probabilidades em eventos de natureza não determinística. Análise de falhas e confiabilidade em estruturas. Análise de reações químicas, de transferência de calor por radiação em superfícies rugosas. Caracterização de erros dimensionais em peças fabricadas em série. Tratamento de imagens. Algoritmos de otimização pseudoaleatórios (Simulated Annealing, AG, PSO, etc)

3 Definições para uma variável aleatória
Conjunto: valores possíveis de serem assumidos por uma variável aleatória (Conj. de números reais, de números naturais, etc) Espaço amostral: conjunto dos valores observados com uma variável aleatória. Probabilidade: é definida como a chance de um determinado valor ser observado em uma variável aleatória. Probabilidade nula: O evento não ocorrerá nunca. Probabilidade 100%: O evento ocorrerá com certeza.

4 Função distribuição probabilidade

5 Função distribuição probabilidade
Para qualquer evento x(k)

6 Função distribuição probabilidade
Jogo de cara ou coroa X(Caras)=a X(Coroas)=b

7 Função distribuição probabilidade
Esperança

8 Função distribuição probabilidade
Função densidade probabilidade uniforme

9 Função distribuição probabilidade
Função probabilidade uniforme Média Variância

10 Função distribuição probabilidade
Mudança de variáveis

11 Função distribuição probabilidade
Seno Variável aleatória com distribuição uniforme

12 Função distribuição probabilidade
Seno

13 Momentos Estatísticos

14 Momentos Estatísticos

15 Desigualdade de Chebyshev

16 Desigualdade de Chebyshev
Função probabilidade desconhecida Função probabilidade normal 95% dos valores possíveis de uma variável aleatória com FDP normal estão dentro do intervalo de +/-2s

17 Duas Variáveis Aleatórias
Função probabilidade

18 Duas Variáveis Aleatórias
Função densidade probabilidade Variáveis estatisticamente independente

19 Duas Variáveis Aleatórias
Esperança e Coeficiente de Correlação

20 Duas Variáveis Aleatórias
Esperança e Coeficiente de Correlação Não significa que as variáveis são independentes Variáveis estatisticamente independente

21 Duas Variáveis Aleatórias
Momentos estatísticos e funções características

22 Duas Variáveis Aleatórias
Momentos estatísticos e funções características

23 Duas Variáveis Aleatórias
Momentos estatísticos e funções características

24 Distribuição Normal (Gaussiana)
A variável aleatória x(k) possui uma distribuição normal se:

25 Distribuição Normal (Gaussiana)

26 Princípios estatísticos
- Em análise de sistemas físicos em geral se tem variáveis aleatórias observadas através de amostras finitas. Propriedades estatísticas Estimadores Erros

27 Princípios estatísticos
Propriedades estatísticas Estimadores Estimador com erro de tendência

28 Princípios estatísticos
Índices de qualidade dos estimadores Sem erro de tendência O estimador 1 é dito melhor que o estimador 2 Consistente

29 Princípios estatísticos
Avaliação do estimador da média

30 Princípios estatísticos
Avaliação do estimador da variância

31 Princípios estatísticos
Avaliação do estimador da variância

32 Funções Densidade Probabilidade
Distribuição Normal

33 Funções Densidade Probabilidade
Distribuição Normal Unimodal Monotônica Pontos de inflexão

34 Funções Densidade Probabilidade
Distribuição Qui-quadrado N=número de variáveis=número de graus de liberdade

35 Funções Densidade Probabilidade
Distribuição Qui-quadrado Caso geral da função distribuição GAMA A raiz quadrada da distribuição qui-quadrada com n=2 (Distribuição de Rayleigh): Distribuição bidimensional Valores limites da distribuição de um ruído de banda estreita quando a largura de banda tende a zero A raiz quadrada da distribuição qui-quadrada com n=3 (Distribuição de Maxwell): Distribuição tridimensional Se aproxima da distribuição normal quando o número de graus de liberdade aproxima do infinito.

36 Funções Densidade Probabilidade
Distribuição T-Student N=número de variáveis=número de graus de liberdade

37 Funções Densidade Probabilidade
Distribuição F N=número de variáveis=número de graus de liberdade

38 Distribuição de amostragens e exemplos
Seja x1, x2, x3,…,xN N amostras observadas da variável aleatória x com probabilidade p(x): A média estimada é uma variável aleatória A variância estimada é uma variável aleatória Outros estimadores também serão variáveis aleatórias

39 Distribuição de amostragens
Distribuição da média com a variância conhecida Se N é grande p(x) se aproxima da distribuição normal Teorema do limite central

40 Intervalos de Confiança
Antes da amostragem Após a amostragem

41 Intervalos de Confiança
Com variância conhecida Com variância desconhecida

42 Intervalos de Confiança