Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem

Apresentação em tema: "Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem"— Transcrição da apresentação:

1 Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem
Forma geral de uma equação linear Qualquer equação de segunda ordem que não possa ser escrita assim é dita não-linear Não-linear

2 Equações Homogêneas Neste caso r(x) = 0 Teorema:
a) se y1 e uma solução então ky1 também é uma solução b) Se y1 e y2 são soluções então y1 + y2 também é solução O teorema é conhecido como princípio de superposição ou de linearidade Só é válido para equações lineares-homogêneas

3 Equações de segunda ordem, Homogêneas com coeficientes constates
Vamos supor a e b reais Lembrando que para a solução é: Neste caso temos que:

4 Equação característica
Substituindo na equação diferencial temos: Portanto: Obtendo os valores

5 A solução do Sistema Homogêneo
Dado que a e b na equação característica são reais temos os seguintes casos possíveis: 1 e 2 são reais e distintas 1 e 2 são complexas conjugadas 1 e 2 são reais e iguais

6 Solução Geral Teorema: a solução y(x) = c1y1(x)+c2y2(x) constitui uma solução geral em um intervalo I do eixo dos x se, e só se, as funções y1 e y2 constituírem um sistema fundamental de soluções y1 e y2 constituem um sistema fundamental se, e só se, se quociente y1/y2 não for uma constante em I, mas depender de x

7 Exemplo: as funções são soluções do sistema: Dado que y1/y2 não é constante constituem um sistema fundamental e a solução geral do sistema será

8 Raízes complexas na equação característica
Dado o polinômio característico: Na forma geral temos que 1 = p + iq 2 = p – iq e as soluções são complexas

9 Aplicando as Fórmulas de Euler

10 Os lados direitos das equações são linearmente independentes em qualquer intervalo
Desta maneira, formam um sistemas fundamental A solução geral é então:

11 Raiz Dupla na Equação Característica
No caso de 1 = 2 temos o chamado caso crítico 1 = 2 são reais, teste caso a2 - 4b = 0 b = a2/4 Neste caso  = -a/2 E obtemos uma única solução: y1=e x

12 Encontrando y2 y2(x) = u(x)y1(x) Onde y1=e x
Para o caso de raiz dupla a equação diferencial tem a forma Substituindo y2 nesta equação temos: Portanto u = x E temos y2=xe x

13 A solução no caso de raiz dupla
Teorema: No caso de raiz dupla a solução do sistema é da forma:

14 O problema da Unicidade da Solução
O problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem consiste da equação e de duas condições iniciais, uma para y(x) e outra para y’(x)

15 Equação de Cauchy Pode ser resolvida usando manipulações algébricas y = xm

16 Manipulando Algebricamente
Dividindo a equação por xm (não nulo para x  0) temos:

17 Se as raízes m1 e m2 são diferentes de zero então as funções:
constituem um sistema fundamental de soluções na equação de Cauchy Isto é válido para qualquer valor de x para os quais estas funções são reais e finitas A solução geral correspondente é:

18 Exemplo Equação auxiliar As raízes são m1 = -1/2 e m2 = 3
O sistema fundamental será: Solução:

19 Equações Lineares não Homogêneas
A solução tem a forma: Isto constitui um dos teoremas fundamentais das equações diferenciais!!!

20 A solução Particular Métodos dos coeficientes a Determinar

21 + O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
Tomando uma convenção podemos estabelecer sinais para as forças: para acima = positivo F_mola F_amortecedor + m F_aplicada

22 + O Caminho para obter um Modelo Dinâmico m
F_mola F_amortecedor + m F_aplicada Agora podemos aplicar a 2a lei de Newton:

23 + O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
F_mola F_amortecedor + m F_aplicada Neste caso, obtemos a equação: F_aplicada - f_mola - f_amortecedor = ma

24 O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
Na equação podemos identificar facilmente os elementos: F_aplicada - f_mola - f_amortecedor = ma F_amortecedor = cv c = constante do amortecedor v = velocidade F_mola = kx k = constante da mola x = deslocamento Podemos obter, então: F_aplicada kx cv = ma

25 O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
Podemos assumir as convenções: aceleração = a = velocidade = v = Força_aplicada = F

26 O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
Desta maneira, o nosso modelo fica: F_aplicada kx cv = ma Na verdade o nosso modelo está representado por uma equação ordinária de segundo grau

27 O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
Fazendo manipulações algébricas temos: Este modelo pode ser melhor trabalhado usando Transformada de LAPLACE Queremos levar o nosso modelo para o Domínio de LAPLACE

28 O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
Aplicando a transformada de LAPLACE temos:

29 O Conceito de Função de Transferência
Desta maneira podemos obter a expressão: Esta equação representa um relação entre entrada e saída do sistema Esta forma é denominada de Função de Transferência