Funções de várias variáveis

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Derivadas Parciais de ordens superiores Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior computando as derivadas parciais das funções já derivadas. Essas derivadas são derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos. Exemplo Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y) = 2x3.e5y. Temos que:

Portanto, a segunda derivada, em relação a x é: E a segunda derivada, em relação a y é:

Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a y, calculada agora em relação a x: E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x, calculada agora em relação a y:

Derivadas Parciais de ordens superiores As duas primeiras derivadas parciais apresentadas acima são chamadas de puras ; As duas últimas são chamadas de mistas.

Notação Se z=f(x,y), podem-se computar quatro derivadas parciais de segunda ordem com suas respectivas notações de acordo com as expressões abaixo:

Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas.

Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas. Proposição Se f(x,y) está definida numa certa vizinhança de (x0,y0) e é tal que as derivadas existem e são contínuas nessa vizinhança, então

Regra da Cadeia A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o intuito de calcular derivadas parciais de funções compostas de várias variáveis. Suponha que a função P = p(x,y) com derivadas parciais contínuas represente a quantidade produzida de um determinado bem a partir de matérias-primas x e y, que por sua vez, variam com o tempo, ou seja, x = x(t) e y = y(t).

A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, de acordo com a seguinte expressão: P = p(x(t) , y(t)) = P(t) A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por:

Exemplo Considere uma firma cuja receita expressa-se através da função R(x,y) = xy2, onde x e y representam as quantidades de dois bens produzidos. Suponha que estas quantidades dependam do capital k e do trabalho l, de acordo com as funções x = 4k + 3l e y = 3k + l. Calcule as derivadas parciais da receita em relação ao capital e ao trabalho, como funções de tais variáveis. Antes de aplicar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as seguintes derivadas parciais:

Exemplo

Exemplo Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
Funções de várias variáveis Exemplo Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

Aplicação A temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal situada no plano XY é dada por: T = 10.(x2 + y2)2. Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto (-1, 2) e na direção de do eixo Y; Partindo-se do ponto (-1, 2) e deslocando-se na direção do eixo X a temperatura aumenta ou diminui?

Solução

Curvas de nível Para traduzir um gráfico de z = f(x,y) em curvas de nível, basta esboçar as curvas-intersecção de f(x,y) com z = c, para diferentes valores de c. Exemplo-1 Reconhecer e representar graficamente o gráfico da função z = f(x,y) = x2 + y2. Fazendo z=c, desde que c > 0, obtemos a equação: x2+y2=c. Isto significa que a projeção no plano xy da curva-intersecção do plano horizontal z = c com o gráfico da função possui tal equação. Essa projeção é a circunferência de centro na origem e raio Como o corte z = c é um círculo, o gráfico desta função é um parabolóide de revolução obtido pela rotação da parábola z = x2 em torno do eixo z.

Exemplo 1

Exemplos de outras curvas
Funções de várias variáveis Exemplos de outras curvas

Gradiente de uma função O gradiente de uma função f(x,y) num ponto (x0,y0), designado por f(x0,y0) ou grad f(x0,y0), é o vetor livre cujas coordenadas são: e

Simbolicamente: Exemplo 2 Calcule o gradiente da função f(x,y) = 3x2y-x2/3.y2 no ponto (1,3).

Resolução Calculemos a derivada parcial da função f(x,y) em relação a x e y: No ponto (1,3): Portanto, o gradiente da função f(x,y) no ponto (1,3) é o vetor f(1,3)=[12,-3].

Gradiente de uma função Convenciona-se representar este vetor com origem no ponto em relação ao qual se calcula o gradiente.

Gradiente de uma função Dessas considerações é possível pensar num campo de vetores gradiente de uma função, que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornecem em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da função.

Relação entre Gradiente Curvas de Nível Dizemos que um vetor u é ortogonal a uma curva plana, dada pelas equações paramétricas x = x(t) e y = y(t), se ele é ortogonal ao vetor [x’(t), y’(t)], que é o vetor tangente à curva. Teorema O gradiente de uma função f(x,y) no ponto (x0,y0) é ortogonal à curva de nível da função que passa por esse ponto.

Prova Os pontos (x,y) sobre uma curva de nível podem ser parametrizados por uma variável t: x = x(t) e y = y(t); Como f(x0,y0) = C, então, f(x(t),y(t)) = C; Derivando ambos os membros da igualdade em relação a t, obtemos, pela regra da cadeia:

Prova O primeiro membro dessa igualdade é o produto escalar dos vetores f(x(t),y(t)) e [x’(t),y’(t)]; Mas, [x’(t),y’(t)] é o vetor tangente à curva de nível no ponto (x(t),y(t)); Portanto, o gradiente da função f no ponto (x,y) é ortogonal ao vetor tangente à curva de nível no ponto (x,y).

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