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Ensino Superior Cálculo 2 3- Volume de Sólidos Amintas Paiva Afonso.

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1 Ensino Superior Cálculo 2 3- Volume de Sólidos Amintas Paiva Afonso

2 Sólidos de Revolução

3 Sólidos de Revolução Introdução: Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r. a Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).

4 Volume de Sólidos Volume de um sólido quando é conhecida a área de qualquer secção transversal.

5 Volume de Sólidos Exemplo 1:
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide – é Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos: Para cada corte transversal na altura h - y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x)2. Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: 2x             e daí            

6 Volume de Sólidos Exemplo 1: e daí
Logo, o volume da pirâmide é dado por:

7 Volume de Sólidos Exemplo 2:
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h. Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro, temos:                                          Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é r2. h Logo, o volume do cilindro é dado por:

8 Sólidos de Revolução Exemplo 3: Considere a região delimitada por , o eixo x e as retas x = -a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio a. Mostre que seu volume é O volume da esfera gerada é:

9 Sólidos de Revolução Exemplo 3:

10 Volume de Sólidos Exemplo 4:
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cone reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h/3. Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no vértice do cone e o eixo x seja perpendicular à base do cone, temos:                                         

11 Volume de Sólidos Exemplo 4:
Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é y2. Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:           e daí            ou seja, a área de cada secção transversal é. Logo, o volume do cilindro é dado por:                                

12 Sólidos de Revolução Exemplo 5: Seja o triângulo R, dado na figura abaixo. Calcular o volume do cone gerado pela rotação de R em torno do eixo OY. Para cada y  [0,1] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área A = x2 e o volume do cone é igual a: Usando semelhança de triângulos temos: Portanto:

13 Sólidos de Revolução Exemplo 6: Seja a região R do plano limitada pela curva y = -x2 + 1 e o eixo OX. Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX. A intersecção da curva com o eixo OX é dada por: -x2 + 1 = 0.: x2 = 1.: x = ± 1. Para cada x  [-1, 1] a seção transversal ao eixo OX é um círculo gerado pela rotação do segmento vertical de comprimento y. Logo, possui área A = y2 e o volume do sólido é igual a: y Portanto:

14 Sólidos de Revolução Exemplo 7: Seja a região R do plano limitada pelo eixo OY e pelas curvas Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OY. Na figura temos representada a região R. Como R é simétrica em relação OY, uma das duas regiões R1 ou R2 girando em torno de OY gera todo o sólido. Vamos considerar a região R1. Para cada y  [1/4, 4] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área A = x2 e o volume do sólido é igual a:

15 Sólidos de Revolução Exemplo 7: Portanto:

16 Sólidos de Revolução Exemplo 8: Seja a ciclóide de equações paramétricas 8.1. Esboce a curva. Usando as derivadas obteremos a curva abaixo.

17 Sólidos de Revolução 8.2. Seja R a região do plano limitada pela ciclóide e pela reta y = -1. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX. Seja a função y = f(x) tal que seu gráfico é a ciclóide. Para cada x  [-4, 0] a seção transversal ao eixo OX é um anel circular de raio interno igual a 1 e raio externo igual a y. Logo possui área igual a: A = y2 - .12 = y2 -  e o volume do sólido é igual a:

18 Sólidos de Revolução Substituindo x em função de t na integral anterior temos:

19 Sólidos de Revolução 8.3. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno da reta x = 1. Sejam as funções x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funções cujos gráfico são respectivamente os arcos da ciclóide obtidos para t  [ , 2 ] e para t  [0,  ]. Para cada y  [-5 , -1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raio externo respectivamente é 1 - x1 e 1 – x2 .

20 Sólidos de Revolução Logo, a seção transversal tem área A = (1- x1)2 - (1- x2 )2 e o volume do sólido é igual a: Substituindo y em função de t nas integrais acima temos:

21 Sólidos de Revolução Exemplo 9: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo OY, do círculo de raio 1 e centro em (4,0). Tomemos as equações paramétricas do círculo: Sejam x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funções cujos gráfico são respectivamente os semi–círculos obtidos para t  [-/2, /2] e para t  [/2, 3/2]. Para cada y  [-1 , 1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raios externo e interno respectivamente iguais a x1(y) e x2(y). Logo, a seção transversal tem área A =  .x12 -  x2 2 e o volume do sólido é igual a:

22 Volume de Sólidos ou usando simetria Substituindo por t temos:

23 Volume de Sólidos Nesses problemas observamos que temos um sólido compreendido entre dois planos paralelos e que é conhecida a área da secção transversal obtida por um plano qualquer paralelo aos planos inicialmente dados, então o volume do sólido é dado por                        ou                        Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: conforme a secção transversal seja perpendicular ao eixo x ou y, respectivamente. Essa é uma primeira maneira de encontrarmos o volume de um sólido, quando a área de qualquer secção transversal é conhecida.

24 Volume de Sólidos Volume de um sólido de revolução, obtido pela rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.

25 Sólidos de Revolução

26 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], sendo f(x)  0 para todo x, tal que a  x  b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b. Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x: A x1=a x2=b B

27 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
Considerando uma partição P do intervalo [a,b]: P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b}, tal que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, seja:

28 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
- Seja ainda xi = xi – xi-1 o comprimento do intervalo [xi-1 , xi]. - Para cada intervalo [xi-1 , xi], escolhemos um ponto qualquer ci. - Para cada i, i = 1, ..., n, construímos um retângulo Ri, de base xi e altura f(ci). - Fazendo cada retângulo Ri girar em torno do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por:

29 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
A soma dos volumes dos n cilindros, que representaremos por Vn, é dada por:

30 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
A medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido B. Definição Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido B, gerado pela revolução de R em torno do eixo x, é definido por:

31 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo: Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos em certas situações especiais. A x1=a x2=b B

32 Sólidos de Revolução

33 Sólidos de Revolução

34 Sólidos de Revolução Quando a função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b]. - A fórmula do volume permanece válida, pois |f(x)| = (f(x))2. O sólido gerado pela rotação da figura (a) é o mesmo gerado pela rotação da figura (b). (a) (b) (b)

35 Sólidos de Revolução Exercício 1: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1, 2]. De acordo com a definição:

36 Sólidos de Revolução Exercício 2: Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado ela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [-1, 1]. - De acordo com a definição:

37 Sólidos de Revolução Exercício 3: Seja f(x) = sen x, x  [a, b]. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x = . O volume do sólido é dado por:                                          

38 Integral Indefinida INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS
Revisão INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X) Sejam as identidades trigonométricas: Assim, 38

39 Sólidos de Revolução Quando, ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região A gira em torno do eixo dos y. - Neste caso, temos:

40 Sólidos de Revolução

41 Sólidos de Revolução Exercício 4: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y = x3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.

42 Sólidos de Revolução Exercício 5: Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x, para 0  x  2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados. A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de        , para é girada ao redor do eixo x: O volume do sólido é dado por:                                           2 2

43 Sólidos de Revolução Exercício 5:
b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de        , para é girada ao redor do eixo y: 2 2 O volume do sólido é dado por:                                          

44 Sólidos de Revolução Exercício 5:
b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de        , para é girada ao redor do eixo y: 2 2 O volume do sólido é dado por:                                          

45 Sólidos de Revolução Exemplo 6: Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do eixo x da região compreendida pelo gráfico de y = x e y = 1/x, no intervalo [1/2, 3]. Calcule também o volume do sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixo y. a) S1 1 S2 V1 V2 1/2 1 3

46 Sólidos de Revolução Exemplo 6: Logo, o volume do sólido é:
Efetuando os últimos cálculos, temos:

47 Sólidos de Revolução Exemplo 6: b) S1 1 S2 1/2 1 3

48 Sólidos de Revolução Nesse caso, o volume do sólido gerado, calculado pelo método das cascas, é: Efetuando os últimos cálculos, temos:

49 Sólidos de Revolução Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b: Supondo f(x)  g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:

50 Volume de Sólidos

51 Sólidos de Revolução

52 Sólidos de Revolução

53 Sólidos de Revolução

54 Sólidos de Revolução Exercício 6: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por x2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0 e x = 0 em torno do eixo x.

55 Sólidos de Revolução Exercício 7: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola e pela reta De acordo com a definição:

56 Sólidos de Revolução Exercício 7:

57 Sólidos de Revolução Exercício 7:

58 Sólidos de Revolução

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61 Sólidos de Revolução Exercício 8: A região limitada pela parábola cúbica y = x3, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. De acordo com a definição:

62 Sólidos de Revolução Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos: a b y = f(x) A L

63 Sólidos de Revolução Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos: c d y = f(x) A M

64 Sólidos de Revolução

65 Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos.
Volume de Sólidos Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos.

66 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas. O volume de cada uma das cascas é dado por: ou ainda, colocando                   e                 ,                          

67 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], com a  x < b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b. Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular. onde     indica o raio de cada invólucro e        indica sua altura.

68 Sólidos de Revolução Exercício 10: Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x , para 0  x  2, ao redor do eixo y. Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos:                    

69 Sólidos de Revolução Exemplo 11: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de y = x3 e y = x, para 0  x  1, ao redor do eixo y. As duas funções se encontram nos pontos (0,0) e (1,1). O volume do sólido pode ser calculado pelo método das cascas e, portanto, é igual a:

70 Sólidos de Revolução Exemplo 12: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0  x  y e x2 + y2  2.

71 Sólidos de Revolução Inicialmente, para obter a região do plano, assinalada na primeira figura, precisamos encontrar a intersecção da reta com a circunferência, sendo x  0: Logo, x = 1: Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é dado por:

72 Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro.
Sólidos de Revolução Exemplo 13: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto x2 + (y – 2)  1. Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro.

73 Sólidos de Revolução Inicialmente, a região pode ser encarada como delimitada pelos gráficos das funções: Logo, a integral que nos fornece o volume do sólido será:

74 Sólidos de Revolução Vamos calcular o mesmo volume pelo método dos invólucros cilíndricos: Vamos encontrar primeiramente as primitivas da integral:

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