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Ensino Superior Cálculo 2 2.1- Integral Definida Amintas Paiva Afonso.

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Apresentação em tema: "Ensino Superior Cálculo 2 2.1- Integral Definida Amintas Paiva Afonso."— Transcrição da apresentação:

1 Ensino Superior Cálculo 2 2.1- Integral Definida Amintas Paiva Afonso

2 Integral Definida Determinar uma área sob a curva de uma função (que se traduz na operação conhecida como integral definida), é um procedimento que guarda estreitas relações com a operação de desvendar a primitiva de uma função (integral indefinida). Vamos procurar entender o procedimento que possibilita este cálculo. Na antiguidade o cálculo da área de certas figuras era obtido por aproximação. A área de uma figura mais complexa era determinada a partir do cálculo de áreas de figuras mais simples.

3 Integral Definida Método de Exaustão de Arquimedes
Por volta de 400 a.C. Eudoxo geometrizou a técnica que Arquimedes chamou de método de exaustão. O método consiste em exaurir (preencher) a figura que se quer calcular a área com polígonos regulares. Quanto maior for número de lados do polígono, maior será a convergência entre a área do polígono e a da figura. Vamos aplicar esse método para calcular a área do círculo.

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5 Integral Definida Método de Exaustão de Arquimedes ...
Para um polígono de n=4 lados Para um polígono de n=6 lados Para um polígono de n=8 lados

6 Integral Definida Método de Exaustão de Arquimedes
Seja An a área do polígono Pn. Então, An = n.At;

7 Integral Definida Método de Exaustão de Arquimedes
O perímetro do polígono é pn=n.bn; A área total é dada por:

8 Integral Definida Método de Exaustão de Arquimedes
No caso acima n=8, mas se n cresce cada vez mais, isto é, n, o polígono Pn vai se aproximando cada vez mais do círculo; Enquanto o perímetro Pn se aproxima do comprimento do círculo (que é 2r), a altura hn vai se aproximando do raio r. Logo, em termos matemáticos, isto é traduzido da seguinte maneira:

9 Integral Definida Área sob uma curva
Para determinar a área de uma figura plana qualquer, procedemos de modo análogo. Considere então o problema de definir a área de uma região plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua, conforme o gráfico abaixo: S

10 Integral Definida Área sob uma curva
Especificado o intervalo [a,b], procedemos a divisão em n subintervalos onde os pontos a = x0 e b = xn.

11 Integral Definida Área sob uma curva
xi = xi - xi-1 é o comprimento de cada intervalinho [xi-1, xi]. Esse intervalo pode ser tão pequeno quanto se queira e o ponto médio desse intervalo é definido por ci.

12 Integral Definida Área sob uma curva
A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por: Também neste caso, podemos observar que a medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se da área sob a curva da função y=f(x). Em termos matemáticos, traduzimos isto, assim:

13 Integral Definida Área sob uma curva Definição
Seja y = f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. A área sob a curva de f(x) é definida por: A integral definida está associada ao limite da definição acima. Definição Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e P uma partição qualquer de [a,b]. A integral definida de “a” até “b” denota-se por:

14 Integral Definida Área sob uma curva
Se existe, dizemos que f é integrável em [a,b]. Quando a função f é contínua e não-negativa em [a,b], a definição da integral definida coincide com a definição da área. Portanto, neste caso, a integral definida é a área da região sob o gráfico de f de “a” até “b”. Observação: sempre que utilizamos [a,b] supomos a < b. Se a>b, então se a integral à direita existir; Se a=b e f(a) existir, então,

15 Integral Definida Propriedades 1) k.f(x) é integrável em [a,b] e 2) 3)
4) f(x) + g(x) é integrável e 5) 6) Se f(x)  g(x) e a  b, então

16 Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo
Se F(x) é uma primitiva de f no intervalo [a,b], então:

17 Integral Definida Exemplo
Calcule a área da região sob o gráfico da função f(x) = x - x2.

18 Integral Definida Uma vez que f(x)0 no intervalo [0,1], a área A da região sob seu gráfico é dada por: Além disso a função é contínua nos reais e, portanto, possui primitiva, que neste caso é: Pelo TFC, temos então que:

19 Integral Definida Bibliografia utilizada:
Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.

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