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Cálculo 3 9. Integrais Duplas Coordenadas Polares Amintas Paiva Afonso

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Apresentação em tema: "Cálculo 3 9. Integrais Duplas Coordenadas Polares Amintas Paiva Afonso"— Transcrição da apresentação:

1 Cálculo 3 9. Integrais Duplas Coordenadas Polares Amintas Paiva Afonso
Ensino Superior Cálculo 3 9. Integrais Duplas Coordenadas Polares Amintas Paiva Afonso

2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Através de uma mudança de variáveis x = x(u, v) e y = y(u, v) uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do plano uv.

3 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA, e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa u = u(x, y) e v = v(x, y). Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e D, respectivamente, temos (3)

4 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Onde é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por

5 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
A transformação que leva pontos (r, ) do plano r a pontos (x, y) do plano xy é dada por (4) e seu jacobiano é dado por Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por: (5)

6 Coordenadas Polares Obtenção da Fórmula
Para que (4) seja bijetora, considera-se r para os quais r e  satisfazem:

7 Coordenadas Polares Área A’ do retângulo em D’
Área A do retângulo polar em D

8 Coordenadas Polares

9 Coordenadas Polares

10 Coordenadas Polares dA = dxdy = rdrdq

11 Coordenadas Polares Integral Dupla em D’
Assim, obtemos o jacobiano rk da fórmula (5). Enumerando os retângulos polares e 1 a n, tome um ponto arbitrário (xk , yk) no k-ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por (rk cosk , rk sink) que tem representação (rk , k) referente à região correspondente em D’. Assim, a soma de Riemann é equivalente a onde A'k = rkk é a área do k-ésimo retângulo em D’.

12 Coordenadas Polares Assim, se tomarmos limite com n   com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero, temos que equivale a integral dada pela fórmula (5).

13 Coordenadas Polares y P(x,y) = P(r,q) Relações: r2 = x2 + y2
q = arctg(y/x) x = r.cosq y = r.senq z = z

14 Coordenadas Polares

15 y r2 = x2 + y2 P y cos  = x/r  = arctg y/x r sen  = y/r  x x
Coordenadas Polares y r2 = x2 + y2 P y cos  = x/r  = arctg y/x r sen  = y/r x x retang.  polares x = r cos  y = r sen  polares  retang.

16 Curvas em Coordenadas Polares
y P r 2 1 x r = f () 1    2

17 Regiões em Coordenadas Polares
y R r = f2 () 2 1 x f1 ()  r  f2 () r = f1 () 1    2

18 Integrais Duplas em Coordenadas Polares
y Rk = (r12 - r22)( - )/2 R = [(r1 + r2)/2] (r) r2 unidade de área: Rk Rk r1 x

19 Integrais Duplas em Coordenadas Polares

20 Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Polares
r1 ()  r  r2 ()

21 Exercícios Exemplo: Calcular
R é a região semicircular, x2 + y2 = 1, onde y é positivo. R = 1

22 Área de uma superfície Exemplo:
Achar a área do parabolóide z = f(x,y) = x2 + y2 abaixo do plano z = 4. (sugestão: usar coordenadas polares).

23 Exercícios

24 Exercícios

25 Cálculo de Volumes - Aplicações
Para f (x, y)  0, a integral nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.

26 Cálculo de Volumes - Aplicações
A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)

27 Teorema de Fubini

28 Teorema de Fubini

29 Exercícios

30 Cálculo Áreas de Regiões Planas
Fazendo f (x, y) = 1, a área da região de integração D é dada por:

31 Exercícios

32


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