O que você deve saber sobre

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1 O que você deve saber sobre
Mat-cad-2-top-5 – 3Prova O que você deve saber sobre CORPOS REDONDOS Presentes em muitos objetos do nosso cotidiano, como na bola de futebol, na latinha de refrigerante ou na casquinha de sorvete, alguns corpos redondos têm estreita ligação com a circunferência e o círculo. 1

2 I. Cilindro circular Elementos
Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova I. Cilindro circular Sólido delimitado por 3 superfícies distintas: bases e superfície lateral. Elementos • Bases: os círculos C e C’, contidos, respectivamente, nos planos  e ; • Eixo: paralelo à reta r, passa pelos centros dos círculos; • Geratrizes: segmentos paralelos ao eixo, com extremidades nas circunferências C e C‘; • Altura (h): distância entre os planos  e . CORPOS REDONDOS 2 2

3 Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova I. Cilindro circular Classificação  Reto: o eixo do cilindro é perpendicular aos planos das bases; também é chamado cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de uma superfície retangular em torno de um eixo sobre um de seus lados.  Oblíquo: o eixo do cilindro não é perpendicular aos planos das bases. CORPOS REDONDOS 3 3

4 I. Cilindro circular Área da superfície área da base: área lateral:
Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova I. Cilindro circular Área da superfície área da base: área lateral: área total: Atotal = Alateral + 2  Abase  Volume É dado pela expressão: CORPOS REDONDOS 4

5 Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova II. Cone Sólido delimitado por duas superfícies: base e superfície lateral. Elementos Base: círculo C, contido no plano ; Vértice: Ponto V, externo a ; Eixo: reta VO; Matrizes: segmentos de reta com extremidades em V e em um ponto da circunferência C; Altura (h): distância entre V e o plano . CORPOS REDONDOS 5

6 Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova II. Cone Classificação  Reto: o eixo do cone é perpendicular ao plano . Também é chamado cone de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo sobre um de seus catetos.  Oblíquo: o eixo do cone não é perpendicular ao plano . CORPOS REDONDOS 6

7 II. Cone  Área da superfície • área lateral: • área da base:
Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova II. Cone  Área da superfície • área lateral: • área da base: • área total: Atotal = Abase + Alateral  Volume: base 2 CORPOS REDONDOS 7 7

8 Cônicas Clique na imagem para ver a animação.
Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova Cônicas Clique na imagem para ver a animação. Professor: use essa animação para mostrar aos alunos como calcular o volume de uma esfera. CORPOS REDONDOS 8

9 Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova III. Tronco de cone reto Sólido obtido mediante a secção de um cone reto por um plano paralelo à sua base. O tronco é a porção do cone original que resta entre o plano  e plano que contém a base. CORPOS REDONDOS 9

10 , em que ht é a altura do tronco.
Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova III. Tronco de cone reto Área da superfície • área lateral: • área total: Atotal = Alateral + Abase maior + Abase menor  , em que gt é a geratriz do tronco, R é o raio da base maior e r é o raio da base menor. Volume: , em que ht é a altura do tronco. CORPOS REDONDOS 10

11 Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova IV. Esfera  Corpo redondo formado por todos os pontos que estão a uma distância de C (centro) menor ou igual a r (raio, representado por um número real positivo). Área da superfície esférica É formada por todos os pontos que distam r de seu centro C. CORPOS REDONDOS 11

12 Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova IV. Esfera Volume: Cunha esférica Sólido obtido quando uma esfera é seccionada por dois planos secantes que passam pelo centro dela. Ele se assemelha a um gomo de tangerina, e seu volume é proporcional ao ângulo  entre tais planos. CORPOS REDONDOS 12

13 Esferas Clique na imagem para ver a animação.
Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova Esferas Clique na imagem para ver a animação. Professor: utilize essa animação para apresentar aos alunos a dedução da fórmula do volume de uma esfera. Se achar conveniente, relembre conceitos como o de volume das pirâmides. CORPOS REDONDOS 13

14 Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova 1 (UFG-GO) Num laboratório, um recipiente em forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da substância presente a cada 100 mL. Se o diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a distância entre duas dessas marcas consecutivas? EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR 14

15 Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova 3 (UFRJ) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como na figura a seguir. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos. Justifique. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR 15

16 Relembrando que o volume de um cone é igual a
Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova 5 (UFABC-SP) As figuras mostram um cone circular reto de raio da base r e a planificação da sua área lateral. Relembrando que o volume de um cone é igual a do produto entre a área da base e a altura do cone, calcule o raio da base e o volume desse cone. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: 3 CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR 16

17 a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico);
Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova 7 (Unesp) Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plástico transparente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, como representado na figura. Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4R2 cm2, determine, em função de  e de R: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico); b) quantos cm2 de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia? RESPOSTA: CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR 17

18 máximo de líquido que ela pode conter é: a) 168 cm3. b) 172 cm3.
Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova 11 1 (Mackenzie-SP) Uma xícara de chá tem a forma de um tronco de cone reto, conforme a figura. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS Supondo  = 3, o volume máximo de líquido que ela pode conter é: a) 168 cm3. b) 172 cm3. c) 166 cm3. d) 176 cm3. e) 164 cm3. RESPOSTA: A CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR 18

19 Se a área da base deste novo sólido é
Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova 15 1 (Fuvest-SP) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da figura 2. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: Se a área da base deste novo sólido é da área de B, determine seu volume. CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR 19

20 para fabricar uma dessas velas. Assim, é correto afirmar que: a) d)
Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova 1 16 (UFTM-MG) Um designer projetou uma vela decorativa com a forma de cone circular reto, de altura 8 cm e raio da base 6 cm. Uma parte da vela será feita com parafina transparente, e a outra, com parafina vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita no cone, como indicado na figura, feita fora de escala. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS Sabe-se que o preço de 1 cm3 de parafina transparente é o dobro do preço de 1 cm3 de parafina vermelha. RESPOSTA: E Sejam T o custo com parafina transparente e V o custo com parafina vermelha para fabricar uma dessas velas. Assim, é correto afirmar que: a) d) b) e) c) CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR 20

21 b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido no item anterior.
Mat-cad-2-top-5 – 2 Prova 17 1 (UFPR) Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir da rotação de uma figura plana em torno de um dos eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se um retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro, como na figura abaixo. Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy delimitada pelas retas r1: y = x, r2: x = 0, r3: x = 1 e pela circunferência : x2 + (y - 4)2 = 1. a) Faça um esboço da região R e do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y. b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido no item anterior. RESPOSTA: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR 21