Matemática Discreta 2 – MD 2

Matemática Discreta 2 – MD 2
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Semestre de 2013 Matemática Discreta 2 – MD 2 Prof. Lineu Mialaret Aula 2: Conjuntos

Introdução (1) Pode-se dizer que a Teoria dos Conjuntos é em grande parte trabalho de um único matemático: George Cantor ( ). Essa teoria é uma das pedras fundamentais da Matemática. E muitos conceitos em Ciência da Computação podem ser expressos de maneira conveniente usando-se conjuntos. Operações podem ser realizadas em conjuntos para gerar novos conjuntos. Tecnologia de Banco de Dados é o exemplo clássico do uso de conjuntos em computação.

Introdução (2) A noção de conjunto não é suscetível de uma definição precisa. Ela surge a partir de noções mais simples, ou seja, é uma noção primitiva. Conjunto não se define formalmente. Usa-se uma idéia intuitiva de que se trata de uma coleção de objetos (não ordenada e sem repetição). Esses objetos de um conjunto possuem alguma propriedade em comum. Qualquer objeto que tenha essa propriedade pertence ao conjunto. Qualquer objeto que não tenha essa propriedade não pertence ao conjunto.

Introdução (3) Sintetizando, objetos de um conjunto não possuem nenhuma ordem de apresentação e cada um é listado apenas uma vez. É redundante listá-lo de novo. Exemplos de conjuntos: O conjunto formado por todas as mulheres da sala. O conjunto formado por todos(as) os(as) corinthianos(as) da sala. O conjunto formado por todas as pessoas com mais de 15 anos na sala. O conjunto formado pelos alunos de computação do IF de Caraguatatuba.

Notação (1) Usa-se letras maiúsculas A, B, ..., para denotar os conjuntos e minúsculas c, d, ..., para os elementos. Usa-se o símbolo  para denotar pertinência em um conjunto. Dessa forma: c  A significa que c pertence ao conjunto A ou é elemento do conjunto A. d  A significa que o elemento d não pertence ao conjunto A ou não é elemento do conjunto A. Usa-se chaves para indicar um conjunto. Se A = {azul, verde, branco}, então verde  A e preto  A. Os elementos em um conjunto não tem nenhuma ordem, de modo que {azul, verde, branco} é o mesmo que {branco, azul, verde}.

Notação (2) Diz-se que dois conjuntos são iguais se eles contém os mesmos elementos. Em notação de lógica de predicados tem-se: A = B significa x((x  A → x  B)  (x  B → x  A)) Ex.: Os conjuntos {1,3,5} e {5,3,1} são iguais. Ao se descrever um conjunto, deve-se ter um modo de identificar seus elementos. Para um conjunto finito (com n elementos, n  0), isso é feito listando-se (todos ou parcialmente) os seus elementos. Ex.: V = {a, e, i, o, u}.

Notação (3) Para um conjunto infinito (que não é finito), pode-se indicar a forma geral listando os primeiros elementos. Ex.: S é o conjunto de todos os inteiros positivos pares, então S = {2, 4, 6,…}. Pode-se usar de recorrência, explicitando um dos elementos do conjunto S e descrevendo-se os outros elementos em termos dos já conhecidos. Ex.: 1) 2  S 2) Se n  S, então (n + 2)  S. Finalmente, pode-se descrever esse conjunto por meio de uma propriedade que caracteriza seus elementos. Ex.: S = {x | x é um inteiro positivo par}, que se lê: “o conjunto de todos os x tais que x é um inteiro positivo par”.

Notação (4) A notação para um conjunto cujos elementos são denotados por uma propriedade P é S = {x | P(x)}. A notação baseada na lógica formal torna mais claro a propriedade que caracteriza os elementos de um conjunto. S = {x | P(x)} significa x((x  S → P(x))  (P(x) → x  S)) Traduzindo: Todos os elementos de S têm a propriedade P e tudo que tem a propriedade P pertence a S.

Notação (5) Exercício 1 - Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos: {x | x é um inteiro e 3 < x ≤ 7}. {x | x é um mês com 30 dias}. {x | x é a capital do Brasil}.

Notação (6) Exercício 1 - Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos: {x | x é um inteiro e 3 < x ≤ 7}. {x | x é um mês com 30 dias}. {x | x é a capital do Brasil}. Respostas: {4,5,6,7}. {abril, junho, setembro, novembro}. {Brasília}.

Notação (7) Exercício 2 - Descreva cada um dos conjuntos a seguir, por meio da propriedade que caracteriza seus elementos: {1,4,9,16}. {o açougueiro, o padeiro, o produtor de maçãs}. {2,3,5,7,11,13,17,...}.

Notação (8) Exercício 2 - Descreva cada um dos conjuntos a seguir, por meio da propriedade que caracteriza seus elementos: {1,4,9,16}. {o açougueiro, o padeiro, o produtor de maçãs}. {2,3,5,7,11,13,17,...}. Respostas: {x | x é um dos quatro primeiros quadrados perfeitos}. {x | x é um dos três comerciantes do bairro}. {x | x é um número primo}.

Notação (9) É conveniente usar-se uma notação padrão para determinados conjuntos, de modo que a referência a eles seja mais fácil. N = o conjunto de todos os inteiros não negativos (0  N) N = {0, 1, 2, 3, ...} Z = conjunto de todos os inteiros Z = {..., -3, -2, -1,0, 1, 2, 3, ...} Q = conjunto dos números racionais Definido por {p/q | p  Z, q  Z, e q ≠ 0} Q = { -7/6, 5/8 } Z  Q, pois se p  Z, p = (p/1)  Q

Notação (10) I = conjunto dos números irracionais
Todo número racional pode ser representado na forma decimal, e pode-se ter dois casos: Representação decimal é finita 7/4 = 1,75. Representação decimal é infinita (periódica) 1/3=0,333... I = conjunto dos números irracionais Sejam os números 2 = 1, 3 = 1, Existem decimais infinitas não periódicas, às quais se dá o nome de números irracionais, os quais não podem ser escritos na forma a/b.

Notação (11) R = o conjunto dos números reais
R = Q  I = {x | x é racional ou x é irracional} Logo, são números reais, os números naturais; os números inteiros; os números racionais; os números irracionais. Sintetizando:

Notação (12) Chama-se de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, tem-se, intervalo aberto: (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} intervalo fechado: [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} intervalo semi-aberto à direita: (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} intervalo semi-aberto à esquerda: [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} intervalos infinitos: (a, + ∞) = {x ∈ R | x > a} [a, + ∞) = {x ∈ R | x ≥ a} (– ∞, a) = {x ∈ R | x < a} (– ∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a} Obs.: (– ∞, + ∞) = R.

Notação (13) Um conjunto que não tem elementos (o assim chamado conjunto vazio) é denotado por  ou por { }. Ex.: S = { x | x  N e x < 0}, então S = . Obs.:  ≠ {  }. A cardinalidade (ou tamanho) de um conjunto A é o número de elementos desse conjunto: É denotada pelas barras de valor absoluto em torno do símbolo do conjunto, |A|. Ex.: Se B = {1, 2, 3, 4, 5} então |B| = 5. Se E = {1, 2} então |E| = 2. Um conjunto finito possui cardinalidade finita (um inteiro) enquanto um conjunto infinito possui cardinalidade infinita.

Relacionamento entre Conjuntos (1)
Para os conjuntos A = {3,5,12} e B = {2,3,5,12}, observa- se que todo elemento de A é também elemento de B. Diz-se que A é um subconjunto de B (essa definição engloba o caso adicional do conjunto A ser igual a B). Se A é um subconjunto de B, simboliza-se por A  B, que se lê “A está contido em B” ou “B contém A”, simbolizado por B  A. Caso contrário, indica-se que “A não está contido em B”, simbolizado por A ⊈ B ou “B não contém A”, denotado por B ⊉ A. Se A  B, mas A ≠ B (há pelo menos um elemento de B que não pertence a A), então diz-se que A é um subconjunto próprio de B, sendo simbolizado por A  B (a notação  também representa subconjuntos próprios).

Exercício 4 – Sejam os conjuntos A = {1,7,9,15} B = {7,9} C = {7,9,15,20} Verificar o valor lógico das seguintes proposições: B  C ( ) B  A ( ) A  C ( ) 15  C ( ) {7}  A ( ) { }  C ( )

Exercício 4 – Sejam os conjuntos A = {1,7,9,15} B = {7,9} C = {7,9,15,20} Verificar o valor lógico das seguintes proposições: B  C (V) B  A (V) A  C (V) 15  C (V) {7}  A (V) { }  C (V)

Conjunto de Conjunto (1)
Para um dado conjunto S qualquer, pode-se formar um novo conjunto cujos elementos são subconjuntos de S. Esse novo conjunto é chamado de conjunto de partes de S (ou conjunto potência) e simbolizado por P(S). Seja S = {0,1}. Então P(S) = {{ }, {0}, {1}, {1,0}} Os elementos de P(S) são conjuntos. Para qualquer conjunto S, o conjunto de partes P(S) no mínimo tem como elementos { } e S. Isso ocorre pois sempre é verdade que { }  S e S  S. Heurística: Para encontrar P(S), começa-se com { }, depois coloca-se os conjuntos formados por um elemento de S, depois aos formados por dois elementos de S, por três e assim por diante, até o próprio conjuntoS. Número de elementos de P(S) ?

Exercício 5 – Qual é o conjunto das partes do conjunto {0,1,2}? Qual é o conjunto das partes do conjunto vazio {}? Qual é o conjunto das partes do conjunto { {} }?

Exercício 5 – Qual é o conjunto das partes do conjunto {0,1,2}? Qual é o conjunto das partes do conjunto vazio? Qual é o conjunto das partes do conjunto { {} }? Respostas: P({0,1,2}) = { {}, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2} }. P({ } = { {} }. P({ {} }) = { {}, { {} } }.

Operações em Conjuntos (1)
Grande parte de operações que envolvem números podem ser realizadas em conjuntos. Dado um conjunto S, podemos definir operações no conjunto P(S). O conjunto S, nesse caso, é chamado de conjunto universo ou universo do discurso, o qual define o contexto dos objetos em discussão. Ex.: Se S = Z, então os subconjuntos conterão apenas inteiros. Operações: Unárias, quando ocorrem em apenas um elemento (operando) do conjunto, por ex., a negação. Binárias, quando envolvem dois elementos (operandos) do conjunto, por ex., a subtração.

Exemplo 1: Seja S o conjunto de alunos de cursos superiores do IF de Caraguatatuba. Sejam A o conjunto dos alunos que estudam computação e B o conjunto dos alunos que estudam administração. Ambos, A e B, pertencem a P(S). Um novo conjunto de alunos pode ser definido, consistindo dos alunos que estudam computação ou administração. Esse novo conjunto é a união de A e B. Outro novo conjunto pode ser formado consistindo de alunos que estudam computação e administração ao mesmo tempo. Esse conjunto é a interseção de A e B.

Definição: Sejam A, B conjuntos pertencentes a P(S). A união de A e B, denotada por A  B, é definida por: {x | x  A ou x  B}. A interseção de A e B, denotada por A  B é definida por: {x | x  A e x  B}. Ex.: Seja A = {1,3,5,7,9} e B = {3,5,6,10,11} (Os conjuntos A e B são elementos de P(S)). Então A  B = {1,3,5,6,7,9,10,11} A  B = {3,5} Obs.: Os conjuntos obtidos são elementos de P(S). Os elementos repetidos são listados uma só vez.

Para facilitar a representação, pode-se usar Diagramas de Venn (homenagem ao matemático John Venn) para se visualizar as operações binárias de união e interseção. Diagrama de Venn para A  B: S A B A  B

Diagrama de Venn para A  B: S A B A  B

Definição: Seja A um conjunto pertencente a P(S). O complemento de A, simbolizado por A (ou ) é definido por {x | x  S e x  A}. Diagrama de Venn para A: Obs.: A representa a parte amarela do diagrama. S A A

Definição: Sejam A, B subconjuntos pertencentes a P(S). A diferença entre conjuntos, simbolizada por A - B é definida por {x | x  A e x  B}. A – B pode ser reescrita como {x | x  A e x  B’}, ou A – B pode ser reescrita como A  B’. E a diferença B – A? Diagrama de Venn para A - B: A B S A - B

Definição: Dois conjuntos A e B tais que A  B =  são denominados de conjuntos disjuntos. Ex.: A – B e B – A são conjuntos disjuntos. Diagrama de Venn para conjuntos disjuntos:

Exercício 6 – Sejam os conjuntos A = {1,2,3,5,10}, B = {2,4,7,8,9}, e C = {5,8,10}, Subconjuntos de S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Encontrar os seguintes conjuntos: A  B A – C B  (A  C)

Exercício 6 – Sejam os conjuntos A = {1,2,3,5,10}, B = {2,4,7,8,9}, e C = {5,8,10}, Subconjuntos de S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Resposta: Encontrar os seguintes conjuntos: A  B = {1,2,3,4,5,7,8,9,10} A – C = {1,2,3} B  (A  C) = {1,3,5,10}

Definição: Sejam os conjuntos A e B subconjuntos de S. O produto cartesiano de A e B, denotado por A  B, é definido por {(x,y) | x  A e y  B}. É o conjunto de todos os pares ordenados com o primeiro componente do par sendo um elemento de A e o segundo componente do par sendo um elemento de B. A  B não é subconjunto do conjunto S (A  B não é uma operação binária fechada em S). Pode-se abreviar A  A por A2. Ex.: Sejam A = {1,2} e B = {3,4,5}. O prod. cartesiano A  B ={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)} 1 3 4 5 2 3 4 5

Outro Ex.: Sejam L = {A,B,C} e N = {1,2}. Prod. cartesiano L  N ={(A,1),(A,2),(B,1),(B,2),(C,1),(C,2)}. L N L  N

Exercício 7 – Sejam os conjuntos A = {1,2}, B = {3,4}. Encontrar os seguintes conjuntos: A  B B  A A2 A3

Exercício 7 – Sejam os conjuntos A = {1,2}, B = {3,4}. Resposta: Encontrar os seguintes conjuntos: A  B = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}. B  A = ((3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}. A2 = A  A = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}. A3 = A  A  A = = (A  A)  A = = A2  A = = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}  {1,2} = = {(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)}.

Exercício para se pensar – Sejam os conjuntos Pagadores = {João, José}, Caloteiros = {Joaquim, João}. Encontrar os seguintes conjuntos que contenham: Só as pessoas que são Pagadores ou Caloteiros. Só as pessoas que são Pagadores e Caloteiros. Só as pessoas que são somente Pagadores. Só as pessoas que são somente Caloteiros.

Identidades Em Conjuntos (1)
Há uma série de igualdades entre conjuntos nas operações de união, interseção, diferença e complementação. Essas igualdades são independentes dos subconjuntos particulares utilizados e são chamadas de Identidades Básica de Conjuntos. Essas identidades são semelhantes (em propósito) as equivalências tautológicas da lógica matemática. São apresentadas na próxima transparência.

Identidades Básicas Envolvendo Conjuntos (1).

Identidades Básicas Envolvendo Conjuntos (2).

Exemplo 2: Provar a identidade 3a (transp. 40). A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Prova-se essa igualdade entre conjuntos mostrando-se a inclusão em ambas as direções, ou seja, prova-se que: A  (B  C)  (A  B)  (A  C) e (A  B)  (A  C)  A  (B  C). Para mostrar-se que A  (B  C)  (A  B)  (A  C), seja x um elemento qualquer de A  (B  C). Pode-se então proceder-se da seguinte forma: x  A  (B  C)  x  A ou x  (B  C)  x  A ou (x  B e x  C)  (x  A ou x  B) e (x  A ou x  C)  x  (A  B) e x  (A  C)  x  (A  B)  (A  C).

Para mostrar-se que (A  B)  (A  C)  A  (B  A), basta refazer o argumento de trás para a frente. As identidades apresentadas podem ser usadas para provar-se outras identidades envolvendo conjuntos. Exemplo 3: Provar que (A  (B  C)  ((A  (B  C))  (B  C)) = , para A, B, e C subconjuntos quaisquer de S.

O dual de cada identidade também aparece na lista. A identidade dual é obtida permutando-se o símbolo  por  e S com . Exemplo 4: o dual da identidade (A  (B  C)  ((A  (B  C))  (B  C)) =  é (A  (B  C)  ((A  (B  C))  (B  C)) = S.

Sintetizando os métodos usados para se provar identidades envolvendo conjuntos:

Exercício 8 - Usando as identidades básicas, prove a identidade abaixo: (C  (A  B))  ((A  B)  C) = A  B, onde A, B, e C são subconjuntos arbitrários de S. Enunciar a identidade dual que se obtém.

Exercício 8 - Usando as identidades básicas, prove a identidade abaixo: (C  (A  B))  ((A  B)  C) = A  B, onde A, B, e C são subconjuntos arbitrários de S. Enunciar a identidade dual que se obtém. Resposta: (C  (A  B))  ((A  B)  C) = (1b) ((A  B)  C)  ((A  B)  C) = (3b) (A  B)  (C  C) = (5a) (A  B)  (S) = (4b) (A  B)

Conjuntos Contáveis e Não Contáveis (1)
Um conjunto finito (um conjunto com n elementos para algum inteiro positivo n) possui um número conhecido de elementos. Num conjunto finito S, sempre se pode designar um elemento como sendo o primeiro, s1, um outro como o segundo s2, e assim por diante. Se existem k elementos no conjunto, eles podem ser listados na ordem selecionada: s1, s2, ..., sk. Essa lista representa o conjunto todo. O número de elementos em um conjunto finito é a denominada cardinalidade do conjunto. Logo, esse conjunto tem a cardinalidade k.

Num conjunto infinito T (um conjunto que não é finito) pode-se ainda selecionar-se um primeiro elemento, t1, um segundo elemento, t2, e assim por diante de modo que a lista t1, t2, ..., tk representa todos os elementos do conjunto. Todo elemento do conjunto aparece na lista em algum momento. Tal conjunto infinito é denominado de enumerável. Conjuntos finitos e conjuntos enumeráveis são denominados de conjuntos contáveis (pode-se contar ou enumerar os elementos do conjunto). Ser contável não significa que se pode dizer qual o numero total de elementos no conjunto. Significa que se pode dizer quem é o primeiro, o segundo e assim por diante.

Exemplo 4: O conjunto N é enumerável. Para provar a enumerabilidade, precisa-se apenas exibir um modo de contar os elementos. Para o conjunto N de inteiros não negativos, é claro que 0,1,2,3, ... é uma enumeração que certamente incluirá todos os elementos do conjunto.

Exercício 9: Provar que o conjunto dos inteiros positivos pares é enumerável.

Exercício 9: Provar que o conjunto dos inteiros positivos pares é enumerável. Resposta: Uma enumeração dos inteiros positivos pares é 2,4,6,8,10,12,...

Exercício 10: Provar que Q+, conjunto dos números racionais positivos é enumerável.

Exercício 10: Provar que Q+, conjunto dos números racionais positivos é enumerável. Resposta: Supondo que cada racional positivo pode ser escrito como uma fração de inteiros positivos, pode-se escrever todas essas frações com numerador 1 na primeira linha, numerador 2 na segunda linha e assim por diante, conforme apresentado abaixo.

Nesse formato, como se pode enumerar o conjunto? Para mostrar que esse arranjo é enumerável, pode-se passar um fio, com uma seta apontando o sentido, percorrendo todo o arranjo, começando em 1/1, conforme apresentado abaixo.

Começando por um dos cantos, observa-se que o arranjo é enumerável. Caso se comece seguindo apenas a primeira linha, jamais se terminará para chegar nas outras linhas. Para melhorar a enumeração, pode-se ainda simplificar as frações, como por exemplo (1/1 = 2/2, 1/2=2/4, …). Portanto, a enumeração de Q+ começa com 1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 4/1, ...

Existem conjuntos infinitos que não são contáveis (ou seja, são os denominados não enumeráveis). Um conjunto não enumerável é tão grande que não existe uma maneira de se contar os elementos e obter todo o conjunto nesse processo. Ex.: números reais, irracionais, complexos, etc.

Pesquisa: Provar que o conjunto de todos os números reais entre 0 e 1 é não enumerável. Dica: Usar o método de diagonalização de Cantor.

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