M ONITORIA DE L ÓGICA Lógica de Predicados: interpretação, estruturas e subestruturas 1.

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1 M ONITORIA DE L ÓGICA Lógica de Predicados: interpretação, estruturas e subestruturas 1

2 M OTIVAÇÃO Obter uma linguagem simbólica para representação de enunciados. 2 “Pedro é honesto.” “Para dois números quaisquer, existe a possibilidade de que a soma dos quadrados deles seja igual ao quadrado da soma deles” H(p) ∃ x ∃ y(s(q(x),q(y)) = q(s(x,y)))

3 Objetos/DomínioPredicados/Relaçõesfunçõesdestaques 3 ESTRUTURA

4 4 Letra MAIÚSCULA “Qualidade” Relação Letra MINÚSCULA “Operação” função

5 E STRUTURA A DomínioRelaçõesdestaquesfunções 5 DomínioRelaçõesdestaquesfunções E STRUTURA B N< 0101 +×+× N Ímpar Primo 2323 X²

6 6 “Existe um natural x que é a multiplicação de 1 por algum natural y.” DomínioRelaçõesdestaquesfunções N=* 1 multiplica ∃ x ∃ y(x = m(a,y)) m(-,-) a

7 E XERCÍCIOS Mário é honesto. H(m) Ou Mário ou Pedro é rico. R(m) ˇ R(p) Algum líder não é honesto. ∃ x(¬H(L(x))) Não existe número natural menor que 0. ¬ ∃ x(M(x,a)) Para todo natural x, existem naturais y e z tais que a soma de y e z é igual a x. ∀ x ∃ x ∃ y(x = s(y,z)) 7

8 A SSINATURA Declaração dos símbolos que serão usados. É preciso identificar: Os destaques As relações e suas aridades As funções e suas aridades 8 I NTERPRETAÇÃO Associação de símbolos a componentes de uma estrutura

9 9 DomínioRelaçõesdestaquesfunções E STRUTURA A N Divide Cubo perfeito -2 0 sucessor multiplica AssinaturaInterpretação Destaques: a, ba A = -2, b A = 0 Relações: D(-,-), C(-) D A = Divide C A = Cubo perfeito Funções: suc(-), m(-,-) suc A = sucessor m A = multiplica

10 S UBESTRUTURA Como saber se uma dada estrutura A é uma subestrutura de uma estrutura B? 1. A e B devem possuir a mesma assinatura 2. O domínio de A deve estar contido no domínio de B 3. Os destaques, as relações e as funções devem ser preservados através de uma função imersiva. Homomorfismo 10

11 H OMOMORFISMO E S UBESTRUTURA Seja L uma assinatura e sejam A e B L estruturas. Seja h uma função de dom(A) em dom(B) (h:dom(A) -> dom(B) ). Dizemos que h é um homomorfismo da estrutura A para B, se h possui as três seguintes propriedades. 1. Para cada constante c de L, h( c A ) = c B. 2. Para todo símbolo de relação n-ária R de L e toda n- upla(a 1,..., a n ) ∈ R A então (h(a 1 ),...,h(a n )) ∈ R B. 3. Para todo símbolo de função n-ária g de L e toda n- upla(a 1,..., a n ) de elementos de A, h(g A (a 1,..., a n )) = h(g B (a 1,...,a n )). 11

12 H OMOMORFISMO E S UBESTRUTURA (2) Para todo símbolo de relação n-ária R de L e toda n-upla(a 1,..., a n ) ∈ R A então (h(a 1 ),...,h(a n )) ∈ R B. A função é dita ser uma imersão se ela for injetora e o item 2 for substituído por: (2) Para todo símbolo de relação n-ária R de L e toda n-upla (a1,...an) de elementos de A, (a1,...,na) ∈ R A se e somente se (h(a 1 ),...,h(a n )) ∈ R B. 12

13 H OMOMORFISMO E S UBESTRUTURA Um isomorfismo é uma imersão sobrejetora. Homomorfismos f:A->A são chamados de endomorfismos de A. Isomorfismos f:A->A são chamados de automorfismos de A. 13

14 E STRUTURA A DomínioRelaçõesdestaquesfunções 14 DomínioRelaçõesdestaquesfunções E STRUTURA B N Primo(-) Divide(-,-) 1212 quadrado(-) resto_div(-,-) R Primo(-) Ímpar(-) Divide(-,-) 0101 ln(-) log(-,-) soma(-,-) A É SUBESTRUTURA DE B?

15 E STRUTURA A Domínio: {Alan, Bob} Destaques: {Alan, Bob} Relações: {Alto(-), Primos(-,-)} Funções: {primo(-)} 15 E STRUTURA B Domínio: {0,1,2} Destaques: {1,2} Relações: {Primos- entre-si(-,-), Par(-)} Funções: {quadrado(-)} Se uma função homomórfica h: dom(A) -> dom(B) que mapeia as relações e funções de A com as relações e funções de B de mesma aridade e mapeia os destaques da seguinte maneira: h(Alan) = 1 h(Bob) = 0 h é homomorfismo imersor?