Tecnologias - Matemática desvio médio, desvio-padrão e variância

Apresentação em tema: "Tecnologias - Matemática desvio médio, desvio-padrão e variância"— Transcrição da apresentação:

1 Tecnologias - Matemática desvio médio, desvio-padrão e variância
Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio-padrão e variância

2 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância INTRODUÇÃO Há situações em que as medidas de tendência central - Média, Moda e Mediana - não são suficientes para caracterizar uma determinada coleta de dados. Nesse caso, é conveniente utilizar as medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância, pois expressam o grau de dispersão de um conjunto de dados. Portanto, nesta aula, estudaremos essas medidas de dispersão. Antes, porém, revisaremos a média aritmética, para uma melhor compreensão desse tópico.

3 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MÉDIA ARITMÉTICA (MA) A média aritmética de um conjunto de dados numéricos é obtida somando-se os valores de todos os dados e dividindo-se essa soma pelo número de dados apresentados. Por exemplo: Qual a média aritmética entre os números: 2, 4, 6, 8 e 10? REVISANDO

4 SOLUÇÃO MA = (2 + 4 + 6 + 8 + 10)/5 MA = 30/5 MA = 6
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO MA = ( )/5 MA = 30/5 MA = 6 Note que somamos os cinco números e dividimos pelo total deles, ou seja, por cinco. REVISANDO

5 DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MEDIDAS DE DISPERSÃO DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

6 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Para compreendermos melhor esses conceitos relativos à Estatística, vamos explicá-los a partir da seguinte situação-problema:

7 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SITUAÇÃO-PROBLEMA Considere a distribuição numérica cujos resultados constam na lista abaixo: 1, 6, 4, 10, 9

8 MÉDIA ARITMÉTICA A média aritmética é 6.
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MÉDIA ARITMÉTICA A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10, 9 é: MA = ( )/5 MA = 30/5 MA = 6 A média aritmética é 6.

9 Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3.
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DESVIO Chama-se DESVIO de cada valor apresentado a diferença entre esse valor e a média aritmética desses valores. Na situação anterior, a distribuição é 1, 6, 4, 10, 9, e a média aritmética é 6. Portanto, temos: desvio do valor = -5 desvio do valor = 0 desvio do valor = -2 desvio do valor = 4 desvio do valor = 3 Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3.

10 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância A partir da situação com a distribuição dos números 1, 6, 4, 10, 9, considerando que a média aritmética entre eles é igual a 6 e que os desvios, em relação à média, são -5, 0, -2, 4 e 3, vamos definir as medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão.

11 DESVIO MÉDIO MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DESVIO MÉDIO

12 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Chama-se desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios. No exemplo em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio será: DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3)/5 DM = ( )/5 DM = 14/5 DM = 2,8 O módulo garante que o valor seja positivo. EXs.: +3 = 3 -3 = 3 O desvio médio é 2,8.

13 VARIÂNCIA MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância VARIÂNCIA

14 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Chama-se variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios dessa distribuição. Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo a variância será: V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²)/5 V = ( )/5 V = 54/5 V = 10,8 A variância é 10,8.

15 DESVIO PADRÃO MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DESVIO PADRÃO

16 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Chama-se desvio padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância: DP = V No exemplo em análise, temos que a variância é 10,8, portanto o desvio padrão será: DP = 10,8  3,28. O desvio padrão é  3,28.

17 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância OBSERVAÇÕES: Quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero; quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores; o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.

18 1º) Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine:
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1º) Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine: o desvio médio; a variância; o desvio padrão.

19 A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos:
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: MA = ( )/4 = 24/4 = 6 a) DM = (2-6 + 4-6 + 6-6 + 12-6)/4 = 12/4 = 3 b) V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²)/4 = 56/4 = 14 c) DP = 14 = 3,74

20 10 arremessos de cada jogador
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2º) Em um jogo de arremessos, coletaram-se os dados da tabela a seguir. Dessa forma, em relação aos acertos, determine: a média aritmética; o desvio médio; a variância; o desvio padrão. JOGADORES LANÇAMENTOS ACERTOS MÁRCIO 10 arremessos de cada jogador 6 MURIEL 4 JONAS 8 EDSON 2 ROMUALDO 7

21 b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5 DM = 1,92
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO a) MA = ( )/5 = 27/5 = 5,4 b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5 DM = 1,92 c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5 V = 4,64 d) DP = 4,64 = 2,15

22 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 3º) No quadro a seguir, está representado o consumo diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas, em um período de quatro dias. Determine o desvio padrão do consumo dos carros desses taxistas.  Taxistas segunda terça quarta quinta I 10 9 23 12 II 16 18 8 32 III 25 17 30

23 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos, antes, calcular a média aritmética e a variância. Calculando a média aritmética de consumo dos carros dos três taxistas, temos: MAI = ( )/4 = 13,5 MAII = ( )/4 = 18,5 MAIII = ( )/4 = 20,5

24 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos três taxistas. VI = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4  31,25 VII = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4  74,75 VIII = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4  58,25 Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a menor dispersão.

25 SOLUÇÃO Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o consumo dos carros dos três taxistas. DPI = 31,25  5,59 litros DPII = 74,75  8,64 litros DPIII = 58,25  7,63 litros Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio padrão é o menor.

26 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 4º) Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor opção? Por quê? Oferta 1 Oferta 2 Média Salarial 890,00 950,00 Mediana 800,00 700,00 Desvio Padrão 32,00 38,00

27 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja, a diferença entre eles é mínima. Dessa forma, a oferta 1 é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão.

28 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005. IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 1ª série, Ensino Médio. Atual, São Paulo, 2004. GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003. PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999.