A MAGIA DA MATEMÁTICA (A arte de produzir fome...)

Apresentação em tema: "A MAGIA DA MATEMÁTICA (A arte de produzir fome...)"— Transcrição da apresentação:

1 A MAGIA DA MATEMÁTICA (A arte de produzir fome...)
“É natural que nossos alunos sintam mais prazer quando estão envolvidos em atividades desafiadoras e que permitam a descoberta. É o que chamamos de heurística. Para isso precisam de estímulo, de motivação, de provocação.” Prof.MSc. Ilydio Pereira de Sá (UERJ – USS – UNIFESO) Prof.ª Dra. Ana Maria Severiano de Paiva (USS)

2 POR QUE TEM DE SER UMA “MÁ-TEMÁTICA”?
A Matemática tem a duvidosa honra de ser a matéria menos apreciada do curso ... Os futuros professores passam pelas escolas elementares aprendendo a detestar a Matemática ... Depois, voltam à escola elementar para ensinar uma nova geração a detestá-la.“ (Educational Testing Service, Princeton)

3 (UBIRATAN D’AMBRÓSIO)
Não podemos esquecer a importância do aspecto lúdico, associado ao exercício intelectual, característico da matemática. Infelizmente, parece que tal aspecto tem sido desprezado. Por que não introduzir no currículo uma matemática construtiva, lúdica, desafiadora, interessante, nova e útil para o mundo moderno? (UBIRATAN D’AMBRÓSIO)

4 (MALBA TAHAN em O HOMEM QUE CALCULAVA)
"Por ter alto valor no desenvolvimento da inteligência e do raciocínio, é a Matemática um dos caminhos mais seguros por onde podemos levar o homem a sentir o poder do pensamento, a mágica do espírito.“ (MALBA TAHAN em O HOMEM QUE CALCULAVA)

5 Aprender sem pensar é trabalho perdido.
Todos sabemos do medo que a maioria das pessoas têm da matemática. Sabemos que o mito de ciência difícil, hermética e sem grandes atrativos, percorre gerações. Sabemos também que a atitude do professor, as metodologias usadas e o seu próprio modo de “encarar” a matemática são fundamentais no combate ou no reforço desse mito. Aprender sem pensar é trabalho perdido. Confúcio ( a. C. ) – Filósofo Chinês

6 Por que aprender Matemática?
Algumas perguntas que nossos alunos fazem ... Professor, para que serve toda essa Matemática que estamos estudando? Todas esses números e fórmulas não são para mim... não tenho cabeça para isso! Qual o verdadeiro papel da Matemática na formação do aluno? Como fazer para motivá-los para o estudo da Matemática? 6

7 ... o que nem sempre é verdadeiro, todos sabemos.
Respostas, às vezes evasivas ... “Tudo isso você vai precisar para o que vai aprender mais tarde” ... ... o que nem sempre é verdadeiro, todos sabemos. 7

8 Muito do que ainda restou e que se ensina no modo tradicional, descontextualizado, está lá por mesmice. Ninguém tem coragem de tirar dos programas. A única razão é de natureza histórica – há tempo se ensina isso. E o professor infere: "se me ensinaram é porque era importante, portanto...ensino o que me ensinaram". (D’AMBROSIO)

9 Ninguém ilustrou melhor essa reflexão que René Thom, um dos mais importantes matemáticos do século passado, ao divulgar um poema de um sábio chinês, que diz: "Havia um homem que aprendeu a matar dragões e deu tudo que possuía para se aperfeiçoar nessa arte. Depois de três anos ele se achava perfeitamente preparado mas, que frustração, não encontrou oportunidades de praticar sua habilidade." (Dschuang Dsi) "Como resultado ele resolveu ensinar como matar dragões." (René Thom)

10 Existem saídas? Ajudaria bastante se os professores da Escola Básica, trouxessem para a sala de aula questões práticas interessantes, histórias, desafios, jogos, curiosidades, que sirvam de fatores de motivação e investigação. Usando atividades lúdicas, problemas heurísticos (desafiadores), curiosidades, histórias, tecnologias, etc, os educadores matemáticos têm um poderoso auxílio para a sua prática docente cotidiana. 10

11 O importante é que tais atividades sejam trabalhadas e investigadas, resistindo à tentação inicial de buscar “regras decoradas” e sem significado.

12 A tentativa e o erro são muito importantes no processo de aprendizagem
A tentativa e o erro são muito importantes no processo de aprendizagem. Numa atividade de investigação matemática o resultado é importante, mas, muito mais importante que a resposta é o caminho percorrido para encontrá-la.

13 [...]Toda experiência de aprendizagem se inicia com uma experiência afetiva. É a fome que põe em funcionamento o aparelho pensador. [...] [...] conhecimentos que não são nascidos do desejo são como uma maravilhosa cozinha na casa de uma pessoa que sofre de anorexia. Pessoa sem fome: o fogão nunca será aceso. O banquete nunca será servido. [...] (Rubem Alves – 2002)

14 O enfoque progressista que ampara a Educação Matemática concebe o ensino de Matemática integralmente comprometido com a transformação social, desenvolvendo estratégias que solicitam maior participação do aluno, de modo que a Matemática seja atraente, prazerosa, lúdica e útil, tanto quanto instrumento para a vida e para o trabalho.

15 A proposta é a de instigar o aprender da matemática não como um ato mecânico de “decorar e aplicar fórmulas”, mas compreender que “a matemática” está na vida, muito antes de ser apreendida ou apresentada no espaço escolarizado. Cabe, portanto, despertar o interesse, o prazer por esta matemática. Foi com essa finalidade que selecionamos todas as atividades lúdicas apresentadas. Estas poderão ser usadas em sala de aula da educação básica, por professores (as) ou como sugestões para futuros professores (as).

16 Explorando o lado lúdico da Matemática
Quais as vantagens? Motivação, desafio Ponto de Partida 16

17 POSSIBILIDADES DOS JOGOS, DESAFIOS E ATIVIDADES LÚDICAS
DESENVOLVIMENTO DE HABILIDADES Tomada de decisões; trabalho em equipes; desenvolvimento de estratégias, da imaginação e da criatividade. SITUAÇÕES DO COTIDIANO Muitas situações diárias se assemelham a jogos e desafios e que exigem tomada de decisões. RACIOCÍNIO LÓGICO DEDUTIVO Essencial na construção dos conceitos Matemáticos e em situações do dia-a-dia. 17

18 Algumas atividades Lúdicas que podem ser aplicadas em sala de aula.
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19 Atividade 1: O adivinho indiscreto
Agora vou descobrir as idades de alguns de vocês. Basta dizer sim ou não, conforme a sua idade esteja ou não nas telas que irão surgir em seguida. Clicar aqui Qual a justificativa matemática desse jogo?

20 Justificativa Esta atividade envolve uma interessante propriedade dos números naturais e do Sistema Binário de numeração. “Todo número natural pode ser escrito como uma soma de potências de 2” Vejamos, por exemplo, o número 23. Em primeiro lugar vamos escrevê-lo na base 2. Logo, o número 23, escrito na base 2, fica: 23 = Isto significa que:

21 Assim sendo, o número 23 só irá aparecer (SIM) nas cartelas iniciadas pelas potências de 2 que estão na sua decomposição (1, 2, 4, 16). Nós só temos que somar esses valores. Verifique na tabela !

22 Atividade 2: Área com balança????
Imagine que você pedisse a um aluno do Ensino Fundamental que calculasse uma área irregular e não poligonal. Esse cálculo, de forma aproximada, poderia ser feito com uma balança de dois pratos?

23 Tira retangular, com 1 cm de largura, feita com o mesmo material que a figura que se deseja calcular a área. Devemos colocar uma tira bem grande e ir cortando com cuidado. Quando a balança ficar em equilíbrio, se a tira tiver x cm de comprimento, a área da figura será x cm2. Por que?

24 Atividade 3: Quebra-cabeças com Pitágoras
Atualmente existem, catalogadas, cerca de 400 demonstrações do Teorema de Pitágoras. Várias dessas demonstrações podem ser iniciadas com quebra-cabeças interessantes, como o que vamos propor. Trata-se de uma simples e criativa solução de Henry Perigal, publicada em 1873, em Londres. A partir de um triângulo retângulo qualquer, construímos 3 quadrados. Um sobre a hipotenusa e os outros dois sobre os catetos. Traçamos, em seguida, dois segmentos de reta no quadrado construído sobre o maior cateto, passando pelo seu centro, sendo um dos segmentos paralelo e o outro perpendicular à hipotenusa do triângulo retângulo. 24

25 A proposta do quebra-cabeça é recortar as 4 partes obtidas sobre o quadrado do meio e o quadrado menor e, com as 5 peças obtidas, tentar recobrir o quadrado maior (que foi feito sobre a hipotenusa). 25

26 Solução 26

27 Veja com recursos de Geometria Dinâmica

28 Veja que idéia genial !!!!

29 Atividade 4: SOFTWARE PARA DESENVOLVIMENTO DE RACIOCÍNIO ESPACIAL – CONSTRUFIG 3D
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30 Sobre o CONSTRUFIG3D O CONSTRUFIG3D é um software gráfico para construção de figuras geométricas tridimensionais a partir de figuras geométricas bidimensionais. O aluno pode selecionar o tipo e quantidade de figuras, a partir das opções disponíveis e verifica se é possível gerar uma figura tridimensional compatível. Isto é feito de uma forma interativa utilizando um método de tentativa e erro.

31  DEMONSTRAÇÃO Link para download do software:
Coordenação do Projeto: Dr. Carlos Vítor de A. Carvalho 31

32 Atividade 5: Área do Círculo
A seguir, uma atividade de Geometria Dinâmica, para demonstração da fórmula da área do círculo.

33 Atividade 6: Investigando Paradoxos
O que é um Paradoxo? Contradição ou contra-senso, pelo menos aparente; Coisa que parece estar certa, mas gera um absurdo; Coisa incrível; Discordância, discrepância, desarmonia.

34 Paradoxo dos dados Jogando com três dados, 9 e 10 pontos podem ser obtidos de seis maneiras diferentes: 9 pontos 10 pontos

35 Paradoxo dos dados Porque este fato não está de acordo com a experiência que revela que a soma 10 ocorre mais vezes que a soma 9?

36 Paradoxo dos dados Resultados de vários lançamentos (simulação): 11
nº lançamentos Soma 9 Soma 10 100 12 11 1000 137 139 10000 1183 1260 20000 2287 2493

37 Paradoxo dos dados Este problema foi estudado por gente famosa:
Girolamo Cardano Cardano ( ) “Livro sobre jogos de azar” (escrito em 1526, publicado em 1663)

38 Paradoxo dos dados Galileu Galilei (1564-1642)
“Considerações sobre o jogo dos dados” (escrito entre 1613 e 1623)

39 Paradoxo dos dados As combinações anteriores não são igualmente prováveis. Há 27 maneiras igualmente prováveis de obter 10 pontos. Há apenas 25 maneiras igualmente prováveis de obter 9 pontos.

40 Paradoxo dos dados Resultado 1º dado 2º dado 3º dado 1 2 6

41 Paradoxo dos dados Resultado 1 4 4 Resultado 3 3 3 1º dado 2º dado

42 Paradoxo dos dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 3 2 2 5 2 3 4 3 3 3 1 total 25
9 pontos Possibili-dades 6 3 1 total 25

43 Paradoxo dos dados 1 3 6 6 1 4 5 2 2 6 3 2 3 5 2 4 4 3 3 4 total 27
10 pontos Possibili-dades 6 3 total 27

44 Paradoxo dos dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 3 2 2 5 2 3 4 3 3 3 1 total 25
9 pontos Possibili-dades 6 3 1 total 25 10 pontos Possibili-dades 6 3 total 27

45 Atividade 7: Produto de Frações
Normalmente as operações de Adição e Subtração de frações costumam ser associadas à visualizações com chocolates, pizzas ou similares. O que não é usual é um processo para a visualização do produto de frações. A seguir mostraremos uma forma prática e visual para tal operação. O professor pode fazer um modelo com transparências, retroprojetor ou até mesmo com papel transparente.

46 Vamos representar esse produto geometricamente:
Sugerimos usar a representação das frações como partes de um mesmo todo. Para uma das frações a serem multiplicadas usamos uma representação com linhas horizontais e para a outra com linhas verticais. Fazendo a sobreposição das duas frações, através da interseção dos conjuntos representados, teremos o produto dessas frações. Vejamos alguns exemplos. Vamos representar esse produto geometricamente: Deslizando uma fração sobre a outra

47 Simples, não? Dessa forma, podemos concluir que para multiplicarmos duas frações, basta determinarmos o produto de seus numeradores e de seus denominadores.

48 Atividade 8: Que buraco é esse?
Os dois triângulos da figura são iguais, no entanto, o segundo triângulo é formado pelas "peças" do primeiro e por um misterioso buraco (retângulo vermelho) que parece ter surgido do nada. Como isto é possível, se os dois triângulos são iguais e ao usarmos todas as partes do primeiro, cobrimos o segundo e ainda sobra o “buraco”?

49 COMENTÁRIO: De onde surgiu o buraco? Pode-se verificar que a linha une os pontos A e B não é um segmento de reta, já que os ângulos  e  não são iguais. Como essa diferença é muito pequena, ilusoriamente somos induzidos a pensar que se trata de um segmento de reta. Na primeira figura há um “excesso”, ou seja, uma sobra de área em relação à área de um triângulo. Na segunda figura há uma “falta”. Quando as peças são reagrupadas, essa diferença é que forma o buraco vermelho que apareceu.

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51 A) A multiplicação na Índia
ATIVIDADE 9: ANTIGAS TÉCNICAS DE MULTIPLICAÇÃO A) A multiplicação na Índia (Método da Gelosia) Historicamente se considera indiscutível a procedência hindu para o sistema de numeração decimal e alguns algoritmos para operações.

52 Genericamente, em contraste com o severo racionalismo grego, a matemática hindu era considerada intuitiva e prática. Os matemáticos hindus eram interessados em questões numéricas relacionadas a equações determinadas e indeterminadas. Os matemáticos hindus desenvolveram um método de multiplicação através de tábuas quadriculadas. Mais tarde os árabes o levaram para a Europa e ficou conhecido como Método da Gelosia.

53 Exemplo 1: Multiplicar 6 538 por 547
Inicialmente eles construíam uma tabela com 4 colunas e 3 linhas, por conta da quantidade de algarismos dos números envolvidos na operação. Vejamos como ficava essa tabela.

54 x 547 6 5 3 8 5 4 7

55 Traçamos as diagonais desses quadradinhos, como mostramos abaixo:
5 4 7 6 3 8

56 Dentro de cada quadradinho colocamos os resultados das multiplicações dos algarismos correspondentes da coluna e da linha. Se o resultado for de apenas um dígito deve ser escrito precedido de zero. 5 4 7 6 3 8 3 5 2 5 1 4 4 2 2 2 1 2 3 2 4 5 3 1 2 6 5

57 Em seguida somamos os algarismos que estão nas mesmas diagonais
Em seguida somamos os algarismos que estão nas mesmas diagonais. Usamos a mesma técnica do “vai um “ que usamos no algoritmo tradicional. Vejamos: 5 4 7 6 3 8 2 1 1 1 1 3 5 7 6 2 8 6

58 Mas por que será que funciona?
Podemos então concluir que o resultado da multiplicação proposta é: x 547 = Mas por que será que funciona?

59 Antes de tentarmos justificar o método, vamos fazer um outro exemplo:
Multiplicar 537 por 24 Vamos construir a tabela correspondente (Método da Gelosia).

60 5 3 7 2 4

61 5 3 7 1 1 2 4 6 2 2 1 4 2 8

62 5 3 7 1 1 1 2 4 6 2 2 1 2 4 2 8 8 8 8

63 5 3 7 1 1 1 2 4 6 2 2 1 2 4 2 8 8 8 8 Logo, 537 x 24 =

64 Para justificarmos o método, devemos lembrar que, na multiplicação 537 x 24, temos na realidade ( ) x (20 + 4). Se aplicarmos a propriedade distributiva, teremos: 500 x = 30 x = 7 x = 500 x 4 = 30 x 4 = 7 x 4 = 1 2 8 8 8 Verifique que as somas que obtivemos em cada coluna são exatamente iguais às somas das diagonais do método da Gelosia. Isso nos mostra que os antigos hindus já conheciam o valor posicional dos algarismos no sistema de numeração decimal.

65 B) Multiplicação Chinesa

66 Os chineses usavam um método prático com varetas de bambu
Os chineses usavam um método prático com varetas de bambu. De uma certa forma é uma variante do método da Gelosia dos Hindus. As varetas ficavam dispostas na horizontal e na vertical, representando o multiplicador e o multiplicando. Os pontos de interseção das varetas são contados e representam as multiplicações que achamos na Gelosia. Exemplo: Multiplicar 342 por 25

67 3 4 2 2 5

68 3 4 2 2 6 5 23 24 10

69 3 4 2 2 6 5 8 23 25 25 24 10 5 5 8 550

70 Logo: 342 x 25 = 8 550

71 Vejamos um outro exemplo: 42 x 24 =
1008 2 4 8 20 8 10 8

72 Verifique que a justificativa para o método Chinês é exatamente a mesma que usamos para o método da Gelosia. A única diferença é que, no lugar da tabela (gelosia), eles usavam as varetas e a contagem das interseções.

73 Métodos como esses, da multiplicação feita pelos Hindus ou pelos Chineses,, é que mostram toda a riqueza de uma atual tendência da Educação Matemática – a Etnomatemática. A Etnomatemática, que procura valorizar o conhecimento matemático existente em distintos grupos sociais e etnias, tem como um de seus maiores estudiosos o emérito professor brasileiro Dr. Ubiratan D’Ambrósio. Para educadores da EJA os estudos de Etnomatemática são muito importantes no entendimento de processos, métodos e técnicas matemáticas que os alunos jovens ou adultos possam ter desenvolvido, mesmo que em espaços não formais de educação.

74 ATIVIDADE 10: O ALFABETO DAS BANDEIRAS
Atividade exploratória de códigos e linguagens, com aplicação do conceito de fração. Muitos navios costumavam levar um conjunto de bandeiras que representam letras do alfabeto. Este sistema é chamado de código internacional de bandeiras. Ele é assim:

75 Os marinheiros usam esse alfabeto para escrever frases
Os marinheiros usam esse alfabeto para escrever frases. Algumas bandeiras são usadas para enviar avisos ou mensagens especiais, a bandeira “O”, por exemplo, é dividida em duas partes iguais, metade amarela e metade vermelha. Ela significa “homem ao mar!” ATIVIDADES: Desenhe a bandeira que significa “homem ao mar”. Resp. 2) Se um navio hasteia a bandeira L, está dizendo: “Pare! Tenho uma mensagem importante”. Em quantas partes iguais esta bandeira está dividida? Escreva uma fração para indicar que porção da bandeira é preta. Resp. 4 partes. ¼

76 Resp. 5 partes. Azul 2/5, branca 2/5 e vermelha 1/5
3) Se um navio está com problemas no leme, hasteia a bandeira “D”. Escreva uma fração para mostrar que parte dessa bandeira é azul e outra para mostrar que parte é amarela. Resp. Azul 2/4, amarela 2/4 4) A bandeira “C” quer dizer “sim”. Em quantas partes iguais ela está dividida? Escreva frações para representar que parte da bandeira é azul, que parte é vermelha e que parte é branca. Resp. 5 partes. Azul 2/5, branca 2/5 e vermelha 1/5 5) Observe a bandeira que representa a letra P. Escreva uma fração que represente o quadradinho branco. Resp. 1/9 6) Escreva agora o seu nome, usando o alfabeto das bandeiras. (Atividade adaptada do livro: Frações – Problemas, Jogos e Enigmas, de David L. Stienecker. Ed. Moderna)

77 Atividade 11: Procurando o centro
Um carpinteiro cortou cuidadosamente 4 discos de madeira que pretendia utilizar como rodas de um carrinho de brinquedo. Ele precisava determinar, com exatidão, o centro de cada disco, para poder fazer um buraco por onde passasse o eixo. Acontece que os únicos instrumentos que tinha à mão eram um esquadro não graduado e um lápis. Como ele poderia proceder para encontrar os centros de cada roda? Vamos ajudá-lo com nossos conhecimentos de Geometria?

78 Solução Coloca-se o vértice do esquadro num ponto qualquer da borda da roda e, com o lápis, marcam-se as interseções dos lados do esquadro com a borda da roda. Estes pontos definem as extremidades de um diâmetro do disco (lembre-se que o ângulo inscrito de 90º subentende um arco de 180º). Dessa forma, com o próprio esquadro, pode-se traçar esse diâmetro. Em seguida, girando o esquadro para outra posição, traçamos um outro diâmetro, procedendo da mesma forma. O ponto de interseção desses dois diâmetros será o centro procurado. Este é um ótimo desafio para uma aula de Ensino Fundamental, como aplicação do conteúdo “ângulos no círculo”.

79 Para uma reflexão final...

80 Um grupo de cientistas e pesquisadores colocou cinco macacos numa jaula. No meio da jaula, uma escada e no alto da escada um cacho de bananas. Quando um macaco subia a escada para pegar as bananas, um jato de água fria era jogado nos macacos que estavam no chão.

81 Depois de um certo tempo, quando um macaco subia a escada para pegar as bananas, os outros que estavam no chão o pegavam e o enchiam de pancada. Passado algum tempo, nenhum macaco subia mais a escada, apesar da tentação das bananas. O jato de água fria tornou-se desnecessário.

82 Então os pesquisadores substituíram um dos macacos por um novo
Então os pesquisadores substituíram um dos macacos por um novo. A primeira coisa que ele fez foi subir a escada, dela sendo retirado pelos outros que o surraram. Depois de algumas surras, o novo integrante do grupo não subia mais a escada.

83 Um segundo substituto foi colocado na jaula e o mesmo ocorreu com este, tendo o primeiro substituto participado com entusiasmo na surra ao novato. Um terceiro foi trocado e o mesmo ocorreu. Um quarto e afinal o último dos cinco integrantes iniciais foi substituído.

84 Os pesquisadores tinham, então, cinco macacos na jaula que, mesmo nunca tendo tomado o banho frio, continuavam batendo naquele que tentasse pegar as bananas. Se fosse possível perguntar a algum deles porque eles batiam em quem tentasse subir a escada, com certeza, dentre as respostas, a mais freqüente seria: "NÃO SEI, MAS AS COISAS POR AQUI SEMPRE FORAM ASSIM."

85 Talvez essa fábula tenha muito a ver com a Educação, com a Matemática e com as experiências que alguns de nós vivenciamos ao longo de nossa escolarização... Mas será que tudo tem de ser mesmo do jeito que sempre foi?

86 SUGESTÕES DE LEITURAS Almanaque das Curiosidades Matemáticas
Ian Stewart. Zahar Editores 86

87 Mania de Matemática 1 e 2 – Ian Stewart. Zahar Editores.

88 Editora Ciência Moderna
A Magia da Matemática: Atividades Investigativas, Curiosidades e Histórias da Matemática - Ilydio Pereira de Sá Editora Ciência Moderna 88

89 A Janela de Euclides - Leonard Mlodinow Ed. Geração
89

90 Matemática Divertida e Curiosa - Malba Tahan Ed. Record
90

91 Divertimentos Matemáticos - Martin Gardner Ed. Ibrasa
91

92 O Diabo dos Números - Hans Magnus Enzensberger Ed. Cia das Letras
92

93 Aprenda Álgebra Brincando – I. Perelmann Hemus Editora.
93

94 O Homem que Calculava – Malba Tahan
Ed. Record 94

95 Coleção Explorando o Ensino da Matemática, 3 volumes.
MEC. Disponível em:

96 “Nunca se afaste de seus sonhos
“Nunca se afaste de seus sonhos...porque se eles se forem, você continuará vivendo, mas terá deixado de EXISTIR.” (Mark Twain) TENTE!!! 96