Modelagem Estatística

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1 Modelagem Estatística

2 População e Amostra População: Conjunto dos elementos que se deseja abranger no estudo considerado. Amostra: Subconjunto dos elementos da população.

3 População Finita - Alunos do mestrado, funcionários de uma empresa, eleitores etc. Infinita - Nascimentos em um cidade, produção de uma máquina etc.

4 População e Amostra Censo: Estudo através do exame de todos os elementos da população. Amostragem: Estudo por meio do exame de uma amostra.

5 Técnicas de Amostragem
Amostragem probabilística (aleatória) - a probabilidade de um elemento da população ser escolhido é conhecida. Amostragem não probabilística (não aleatória) - Não se conhece a probabilidade de um elemento da população ser escolhido para participar da amostra.

6 Amostragem Aleatória Simples
Faz-se uma lista da população e sorteiam-se os elementos que farão parte da amostra. Cada subconjunto da população com o mesmo nº de elementos tem a mesma chance de ser incluído na amostra. pr = n/N

7 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

8 Parâmetro e Estatística
Parâmetro - característica relacionada à população. Estatística - característica relacionada à amostra.

9 Parâmetros Média  Proporção p Desvio Padrão  etc

10 Estatísticas Média X Proporção p Desvio Padrão s etc

11 Distribuições Amostrais
Qualquer característica de uma amostra aleatória (estatística) é uma variável aleatória. Em outras palavras, se tomarmos várias amostras de forma parecida, os resultados da característica (estatística) que nos interessa variarão por causa da aleatoriedade do sorteio.

12 Distribuições Amostrais
Distribuição Amostral - Distribuição de probabilidades de uma estatística.

13 Exemplo A população de um estudo é composta de 4 pessoas (N=4) e a variável de interesse é a altura. X1=1,50m X2=1,60m X3=1,70m X4=1,80m

14 Parâmetros N=4 X1=1,50m X2=1,60m X3=1,70m X4=1,80m
Média populacional: = 1,65m Desvio Padrão:  = 0,1118m

15 Exemplo Retira-se uma amostra aleatória simples com 2 elementos (n=2), com reposição. Qual será a média amostral? Qual é a distribuição de probabilidades da média amostral?

16 Exemplo Amostra Amostra X X X X X X X X X X X X X X X X X 3 1 2 4 1 1

17 Exemplo Amostra X X 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 Amostra X X 1,60 1,65
2 3 4 X 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 Amostra X 3 1 2 4 X 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80

18 Exemplo Amostra X Total X 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 - Prob.
2 3 4 Total X 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 - Prob. 1/16 1

19 Distribuição Amostral da Média
0,0625 0,1250 0,1875 0,2500 1/16 2/16 3/16 4/16 1 P(X) X 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 Total

20 Distribuição Amostral da Média
4/16 3/16 3/16 2/16 2/16 1/16 1/16 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80

21 Distribuição Amostral da Média
Calcular o valor esperado (média) e o desvio padrão da média amostral.

22 Média e Variância X P(X) x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn Total 1
xn pn Total 1 E(X) = x =  (xi.pi) VAR(X) = x =  pi.(xi-x)2

23 Distribuição Amostral da Média
0,0625 0,1250 0,1875 0,2500 1/16 2/16 3/16 4/16 1 P(X) X 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 Total

24 Distribuição Amostral da Média
 X = E(X) = 1,65 m  X = 0,0791 m

25 Exercício Retira-se uma amostra aleatória simples com 2 elementos (n=2), sem reposição. Qual é a distribuição de probabilidades da média amostral?

26 Exemplo Amostra X X 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 Amostra X X 1,60 1,65
2 3 4 X 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 Amostra X 3 1 2 4 X 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80

27 Exercício X 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 Total P(X) 1 1/6 2/6

28 Distribuição Amostral da Média
Calcular o valor esperado (média) e o desvio padrão da distribuição amostral da média.

29 Exercício  = E( ) = 1,65  = 0, X x x

30 Distribuição Amostral da Média Características
 =  x a)

31   =   = Distribuição Amostral da Média Características n x n x
população infinita ou muito grande ou amostragem com reposição  = n x  b) população finita  = n x  N - 1 N - n

32 Distribuição Amostral da Média Características
c) A distribuição da média amostral é normal.

33 Exercício Uma fábrica de pneus alega que a vida média dos pneus é Km, com desvio padrão de Km. Tomando-se como verdadeiros estes dados, qual é a probabilidade de uma amostra com 40 pneus apresentar vida média menor que Km?

34 Exercício  n  = x  = x 2000 40  = 316,22777 x

35 Exercício P(X<29500) X 30 29,5

36 Exercício  = = -1,58 316,23 0,057053 -1,58 Z

37 Exercício Um lote com 100 pneus apresenta vida útil média de Km, com desvio padrão de Km. Qual é a probabilidade de uma amostra aleatória simples com 40 pneus apresentar vida média de menos que Km?

38   =  =  = 246,18298 Exercício N - n x n N - 1 x x 2000 100 - 40
 = n x  N - 1 N - n  = x 2000 40  = 246,18298 x

39 Exercício P(X<29500) X 30 29,5

40 Exercício  = = -2,03 246,18 0,021178 -2,03 Z

41 Exercício 1 Se a vida útil média de uma peça é horas, com desvio padrão de 200 horas, qual é a probabilidade de que uma amostra com 25 produtos apresente média superior a horas? 0,00621

42 Exercício 2 Um banco informa que o saldo médio das 2000 contas de pessoas físicas é $ 500, com desvio padrão de $ 100. Se uma amostra aleatória de 50 correntistas (pessoa física) daquele banco for retirada, qual é a probabilidade do saldo médio ser menor que $ 480?

43 Exercício População finita : Resp = 0,076359
População infinita: Resp = 0,079270

44 Modelagem Estatística
Distribuição Amostral da Proporção

45 Distribuição Amostral da Proporção
p - prop. populacional p - prop. amostral População Amostra Plano de amostragem p p

46 Exemplo A população de um estudo é composta de 4 pessoas (N=4) e a variável de interesse é a proporção de pessoas altas (altura > 1,75m). N=4 X1=1,50m X2=1,60m X3=1,70m X4=1,80m

47 Parâmetro N=4 X1=1,50m X2=1,60m X3=1,70m X4=1,80m
Proporção populacional: 1/4 = 0,25

48 Exemplo Retira-se uma amostra aleatória simples com 2 elementos (n=2), com reposição. Qual será a proporção amostral? Qual é a distribuição de probabilidades da proporção amostral?

49 Exemplo Amostra Amostra X X X X X X X X X X X X X X X X X 3 1 2 4 1 1

50 Exemplo Amostra X 1 2 3 4 p 0,5 Amostra X 3 1 2 4 p 0,5 1

51 Exemplo Amostra X 1 2 3 4 Total p 0,5 1 - Prob. 1/16 1

52 Distribuição Amostral da Proporção
9/16 6/16 1/16 1 P(p) p 0,5 Total

53 Distribuição Amostral da Proporção
Binomial (n=2 , p=1/4) proporção = número de pessoas altas tamanho da amostra

54 Distribuição Amostral da Proporção
P(X=0) = P(p=0)= ( ) 2 (1/4)0.(3/4)(2-0) = 9/16 P(X=1)=P(p=0,5)= ( ) 2 1 (1/4)1.(3/4)(2-1) = 6/16 P(X=2) = P(p=1)= ( ) 2 (1/4)2.(3/4)(2-2) = 1/16

55 Distribuição Amostral da Proporção
9/16 6/16 1/16 1 P(p) p 0,5 Total

56 Distribuição Amostral da Proporção
Calcular o valor esperado (média) e o desvio padrão da distribuição amostral da proporção.

57 Distribuição Amostral da Proporção
9/16 6/16 1/16 1 P(p) p 0,5 Total (0,5625) (0,3750) (0,0625)

58 Distribuição Amostral da Proporção
 p = E(p) = 0,25  p = raiz(0,09375) = 0,30619

59 Exercício Retira-se uma amostra aleatória simples com 2 elementos (n=2), sem reposição. Qual é a distribuição de probabilidades da proporção amostral?

60 Exercício Amostra X 1 2 3 4 p 0,5 Amostra X 3 1 2 4 p 0,5 1

61 Exercício 0,5 1 P(p) p Total

62 Distribuição Amostral da Proporção
Calcular o valor esperado (média) e o desvio padrão da distribuição amostral da proporção.

63 Exercício 0,5 1 P(p) p Total

64 Distribuição Amostral da Proporção
 p = E(p) = 0,25  p = raiz(0,0625) = 0,25

65 Distribuição Amostral da Proporção Características

66 Distribuição Amostral da Proporção Características
 = p n p.(1-p) população infinita ou muito grande ou amostra com reposição  = p N - 1 N - n n p.(1-p) população finita

67 Distribuição Amostral da Proporção Características
c1) A distribuição das proporções amostrais é binomial no caso de população infinita. Quando o tamanho da amostra for grande, esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal. c2) A distribuição das proporções amostrais é hipergeométrica no caso de população finita. Quando o tamanho da amostra for grande, esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal.

68 Exercício Uma fábrica de pneus alega que 99% de seus produtos possuem vida útil longa (duram mais que Km). Tomando-se como verdadeiros estes dados, qual é a probabilidade de uma amostra com 400 pneus apresentar menos que 2% dos pneus com vida útil menor que Km?

69 Exercício n p.(1-p)  = p 0,01.0,99  =  = 0,004975 p p 400

70 Exercício P 0,01 0,02 P(p<0,02)

71 Exercício = 2,01 0,02 - 0,01 0,004975 Z 0,02 = 0,977784 Z 2,01

72 Exercício Um lote com 100 peças apresenta 20 com defeitos. Qual é a probabilidade de uma amostra aleatória simples com 20 elementos apresentar menos que 40% de pecas defeituosas?

73  =  = Exercício p.(1-p) N - n p N - 1 n p 99 80 20 0,2.0,8
 = p N - 1 N - n n p.(1-p)  = p 99 80 20 0,2.0,8 = 0,080403

74 Exercício P(p<0,4) P 0,2 0,4

75 Exercício Z 0,4 = = 2,49 0,4 - 0,2 0,080403 0,993613 Z 2,49

76 Exercício 3 Um banco informa que apenas 10% dos 5000 clientes possuem saldo médio acima de $500. Se uma amostra aleatória de 100 correntistas daquele banco for retirada, qual é a probabilidade de haver mais de 15 clientes na amostra com saldo acima de $500?

77 Exercício População finita : Resp = 0,046479
População infinita: Resp = 0,047460

78 Modelagem Estatística
Estimação

79 Estimação de Parâmetros
População Amostra p  2   P S 2 X 

80 ? Estimação População Amostra X S  P
Conhecidas as estatísticas (amostra), estimar quais são os parâmetros (população). População Amostra  P S 2 X ?

81 Estimação   Pontual Estima-se apenas um valor para o parâmetro.
Intervalar Estima-se um intervalo de valores onde deve-se encontrar o parâmetro (intervalo de confiança).  

82 Propriedades Desejáveis de um Estimador
Não-tendenciosidade ou justeza: um estimador é justo (não tendencioso, não viesado; não viciado) se sua média (ou valor esperado) for o próprio parâmetro que se pretende estimar.

83 Tendenciosidade   Xi  Ex:Média n = X  = X  E( ) = X 
Não-tendencioso

84 Tendenciosidade   Ex: Proporção P  Xi n = E( ) = P  p =
Não-tendencioso

85 Tendenciosidade  ^   ^   (Xi -  X n -1 = E ( ) = n n
2 n -1 =  E ( ) =  ^ 2  2 n  Tendencioso

86 Tendenciosidade  ^  ^     ^ ^     (Xi -
  ^ 2 n -1 =  ^   2 E ( ) = 2 n n  Tendencioso (Xi - X   ^ 2 ^ = S2 =  E( ) =  2 E(s2) =  2 n-1  Não-tendencioso

87 Consistência Um estimador é consistente se o aumento do tamanho da amostra leva a uma redução da variância.

88 Eficiência Um estimador não-tendencioso (E1) é mais eficiente que outro estimador não-tendencioso (E2) se a variância de E1 for menor que a variância de E2.  2 E1 E2 <

89 Eficiência E1 é mais eficiente que E2 E1 E2 E3 Não-tendenciosos
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x E1 E2 E3 Não-tendenciosos Tendencioso

90 Métodos de Estimação Como selecionar o melhor estimador?
Método da Máxima Verossimilhança Método dos Mínimos Quadrados Métodos Bayesianos ...

91 Intervalos de Confiança
Problema: Estimar 2 limites, dentro dos quais deve se encontrar o valor real, com um determinado nível de confiança.

92 Exemplo: Média População infinita (valor real = ) (desconhecido)  

93 Exemplo: Média  =  n Amostra: média amostral ( ) X  X  E( ) = X

94 Exemplo População infinita (valor real = ) (desconhecido)   = 10

95 Exemplo Distribuição Amostral
Amostra: média amostral ( ) X   = X  10 25 = 2

96 Exemplo Qual a probabilidade de ser maior que ? X 

97 Exemplo Qual a probabilidade de ser maior que ? X  0,50 

98 Exemplo Qual a probabilidade de ser maior que 1,96 vezes o desvio padrão? Qual a probabilidade da distância entre a média populacional (µ) e a média amostral (X) ser maior do que 1,96 vezes o desvio padrão da distribuição amostral da média? X - 

99 Exemplo = X  10 25 = 2 1, = 3,92 Qual a probabilidade da distância entre a média populacional (µ) e a média amostral (X) ser maior do que 3,92?

100 Exemplo Qual a probabilidade de ser maior que 1,96 vezes o desvio padrão? X -  Resp: 5% -1,96 1,96 0,025

101 Exemplo: Média Se alguém afirmar que X estará a menos de 1,96 vezes o desvio padrão da média (para mais ou para menos), terá 95% de probabilidade de estar certo e 5% de probabilidade de estar errado.

102 Simbologia Probabilidade de erro admitida (probabilidade do parâmetro encontrar- se fora do intervalo a ser criado). No exemplo, 

103 Simbologia Grau de confiança(probabilidade do parâmetro encontrar-se no intervalo) No exemplo, 

104 Simbologia  Limite do I.C. na distribuição padronizada.
No exemplo, 

105 Limites O intervalo é construído somando-se e diminuindo-se Z vezes o desvio padrão da média amostral obtida.

106 Limites A média da amostra não se diferenciará da média populacional em mais que Z vezes o desvio padrão (da distribuição amostral) + - _ X   x  Int. Conf.:

107 Limites    + - _ X  Int. Conf.: n = População infinita n = N -1
 Int. Conf.: n  x  = População infinita n  x  = N -1 N -n População finita

108 Exemplo Foi retirada uma amostra com 64 elementos de uma população com desvio padrão igual a 100. A média encontrada foi 300. Construir um intervalo para a média com: a) 90% de confiança

109 Exemplo   Z0,05 5%

110 Exemplo   X  n 100 Linf = 279,4
  X  n + - Lim= ,645 64 100 Linf = 279,4 Lsup = 320,6 20,5625

111 Exemplo b) 99% de confiança  
Linf = 267,8 Lsup = 332,2 + - Lim= ,575 64 100 32,1875

112 Exemplo Encontrar, na tabela da normal reduzida, os valores de Z para:    

113 Exemplo Encontrar, na tabela da normal reduzida, os valores de Z para:        

114 Intervalo de Confiança Média ( conhecido)
+ - _ X   x  Int. Conf.: n  x  = População infinita n  x  = N -1 N -n População finita

115 Intervalo de Confiança Média ( desconhecido)
Normalmente, não se conhece o desvio padrão da população cuja média se deseja estimar. Então, utiliza-se um estimador pontual para o desvio padrão populacional.

116 Intervalo de Confiança Média ( desconhecido)
s = Desvio padrão da amostra s  n-1 Xi - X)2

117 Intervalo de Confiança Média ( desconhecido)
Nesta situação, a distribuição correta a ser utilizada é a distribuição “t” de Student, com (n-1) graus de liberdade. (supondo que a população seja normal). Obs: se a amostra for grande, pode utilizar-se a distribuição normal como aproximação.

118 Intervalo de Confiança Média ( desconhecido)
normal t  t

119 Interv.Conf. Média ( desconhecido)
+ - _ X t  x  ^ Int. Conf.: ^ n  x  s = População infinita ^ n  x  s = N -1 N -n População finita

120 Limites do Intervalo t - valor limite da distribuição t, para a probabilidade de erro , com (n-1) graus de liberdade. tabela t.

121 Exemplo Encontrar o valor limite de t/2 para:
a)  = 1%, com 19 graus de liberdade (amostra com 20 elementos) 2,861

122 Exemplo Encontrar o valor limite de t/2 para:
a)  = 10%, com 19 graus de liberdade (amostra com 20 elementos) 1,729

123 Exemplo Encontrar o valor limite de t/2 para:
a)  = 5%, com 19 graus de liberdade (amostra com 20 elementos) 2,093

124 Exemplo Encontrar o valor limite de t/2 para:
a)  = 5%, com 29 graus de liberdade (amostra com 30 elementos) 2,045

125 Exemplo Encontrar o valor limite de t/2 para:
a)  = 5%, com graus de liberdade 1,960 Comparar este resultado com Z0,025. 8

126 Exemplo Na construção de um motor, o diâmetro dos cilindros é de grande importância. Em uma pesquisa feita com 5 blocos com 4 cilindros cada (20 furos), o diâmetro médio encontrado foi 82 mm e o desvio padrão 0,1 mm. Construir um intervalo com 95% de confiança para este parâmetro.

127 Exemplo n = 20 (19 graus de liberdade) s = 0,1 mm X = 82 mm
= 5% - da tabela: t19 = 2,093

128 Exemplo tc IC : LS = 82,05 mm LI = 81,95 mm
81,95 < m < 82,05 com 95% de confiança n s tc + - _ X 2,093 20 0,1 + - 82 0,05

129 Intervalo de confiança para a proporção
População com proporção p (desconhecida). Amostra com n elementos e proporção p conhecidos.

130 Distribuição Amostral da Proporção
 p  LI P LS (1-)

131 Intervalo de Confiança
Limites: + - _ P  n P(1-P) (População infinita)

132 Exemplo Foi retirada uma amostra com 100 itens de um grande lote de peças, sendo encontrados 10 defeituosos. Construa um intervalo de confiança com 3% de erro para a percentagem de defeituosos no lote.

133 Exemplo   1,5% Z0,05

134 Exemplo 3  p n Linf = 0,035 0,10.0,90 +
3  p n 0,10.0,90 Linf = 0,035 + - Lim= 0,10 2,17 100 Lsup = 0,165 0,0651

135 Tamanho de Amostras

136 Intervalo de Confiança Média
_ X n  + - Z/2 (população infinita) erro máximo (e)

137 Tamanho de Amostras 2 Z/2 x  Média 
e = Z/ (erro máximo ou margem de erro) n = (População infinita) 2 e Z/2 x 

138 Tamanho de Amostras 2 Z/2 x  2 Z/2 x  x N Z/2 x  + e (N-1) Média
n = (População infinita) 2 e Z/2 x  n = (População finita) 2 Z/2 x  x N Z/2 x  + e (N-1)

139 Tamanho de Amostras Estimação “a priori” do desvio padrão:
Estudos passados Amostra piloto Fixando-se um valor teórico

140 Intervalo de Confiança Proporção
+ - _ P  n p(1-p) (População infinita) erro máximo (e)

141 Tamanho de Amostras 2 Proporção p (1-p) e = Z/2 n Z/2
n = (População infinita) p (1-p) Z/2 2 e

142 Tamanho de Amostras 2 2 Proporção Z/2 n = (População infinita)
p (1-p) Z/2 2 e x p (1-p) x N Z/2 2 e (N-1) x p (1-p) + n = (População finita)

143 Tamanho de Amostras Estimação “a priori” da proporção:
Estudos passados Amostra piloto Fixando-se um valor teórico (0,5)

144 Tamanho de Amostras Z 2 2 Se p = 0,5  máximo tamanho de amostra.
n = x 0,25 Z 2 e (população infinita) n = 0,25 x Z x N 2 0,25 x Z + e x (N-1) (população finita)